a: \(y=\frac{x^2+2}{x+1}\)

=>y'=\(\frac{\left(x^2+2\right)^{\prime}\left(x+1\right)-\left(x^2+2\right)\left(x+1\right)^{\prime}}{\left(x+1\right)^2}=\frac{2x\left(x+1\right)-\left(x^2+2\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{2x^2+2x-x^2-2}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x-2}{\left(x+1\right)^2}\)

Đặt y'>0

=>\(x^2+2x-2>0\)

=>\(x^2+2x+1>3\)

=>\(\left(x+1\right)^2>3\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+1>\sqrt3\\ x+1<-\sqrt3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt3-1\\ x<-\sqrt3-1\end{array}\right.\)

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(\sqrt3-1;+\infty\right);\left(-\infty;-\sqrt3-1\right)\)

Đặt y'<0

=>\(x^2+2x-2<0\)

=>\(x^2+2x+1<3\)

=>\(\left(x+1\right)^2<3\)

=>\(-\sqrt3

=>\(-\sqrt3-1

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\sqrt3-1;\sqrt3-1\right)\)

b: \(y=\frac{2x^2-3}{x-2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x^2-3\right)^{\prime}\cdot\left(x-2\right)-\left(2x^2-3\right)\cdot\left(x-2\right)^{\prime}}{\left(x-2\right)^2}=\frac{2\cdot2x\left(x-2\right)-\left(2x^2-3\right)}{\left(x-2\right)^2}=\frac{4x^2-8x-2x^2+3}{\left(x-2\right)^2}=\frac{2x^2-8x+3}{\left(x-2\right)^2}\)

Đặt y'>0

=>\(2x^2-8x+3>0\)

=>\(x^2-4x+1,5>0\)

=>\(x^2-4x+4>\frac52\)

=>\(\left(x-2\right)^2>\frac52=\frac{10}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2>\frac{\sqrt{10}}{2}\\ x-2<-\frac{\sqrt{10}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x>\frac{4+\sqrt{10}}{2}\\ x<\frac{4-\sqrt{10}}{2}\end{array}\right.\)

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(\frac{4+\sqrt{10}}{2};+\infty\right);\left(-\infty;\frac{4-\sqrt{10}}{2}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(2x^2-8x+3<0\)

=>\(x^2-4x+1,5<0\)

=>\(x^2-4x+4<\frac52\)

=>\(\left(x-2\right)^2<\frac52=\frac{10}{4}\)

=>\(-\frac{\sqrt{10}}{2}

=>\(\frac{4-\sqrt{10}}{2}

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{4-\sqrt{10}}{2};\frac{4+\sqrt{10}}{2}\right)\)

c:

ĐKXĐ: x<>2; x<>-2

\(y=\frac{x+1}{x^2-4}\)

=>y'=\(\frac{\left(x+1\right)^{\prime}\cdot\left(x^2-4\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)^{\prime}}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{x^2-4-2x\left(x+1\right)}{\left(x^2-4\right)^2}\)

\(=\frac{x^2-4-2x^2-2x}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-x^2-2x-4}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-x^2-2x-1-3}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-\left(x+1\right)^2-3}{\left(x^2-4\right)^2}<0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>Hàm số luôn nghịch biến trên mọi khoảng ở TXĐ
d: ĐKXĐ: x<>1; x<>-1

\(y=\frac{2x+3}{x^2-1}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x+3\right)^{\prime}\cdot\left(x^2-1\right)-\left(2x+3\right)\left(x^2-1\right)^{\prime}}{\left(x^2-1\right)^2}\)

\(=\frac{2\left(x^2-1\right)-2x\left(2x+3\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{2x^2-2-4x^2-6x}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{-2x^2-6x-2}{\left(x^2-1\right)^2}\)

\(=\frac{-2\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}\)

Đặt y'<0

=>\(-2\left(x^2+3x+1\right)<0\)

=>\(x^2+3x+1>0\)

=>\(x^2+3x+\frac94>\frac54\)

=>\(\left(x+\frac32\right)^2>\frac54\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+\frac32>\frac{\sqrt5}{2}\\ x+\frac32<-\frac{\sqrt5}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt5-3}{2}\\ x<\frac{-\sqrt5-3}{2}\end{array}\right.\)

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(\frac{\sqrt5-3}{2};+\infty\right);\left(-\infty;\frac{-\sqrt5-3}{2}\right)\)

Đặt y'>0

=>\(-2\left(x^2+3x+1\right)>0\)

=>\(x^2+3x+1<0\)

=>\(x^2+3x+\frac94<\frac54\)

=>\(\left(x+\frac32\right)^2<\frac54\)

=>\(-\frac{\sqrt5}{2}

=>\(\frac{-\sqrt5-3}{2}

=>Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{-\sqrt5-3}{2};\frac{\sqrt5-3}{2}\right)\)

b:

ĐKXĐ: x<>0

\(y=\frac{x^4+48}{x}\)

=>\(y=x^3+\frac{48}{x}\)

=>y'=\(3x^2+\frac{-48}{x^2}=3x^2-\frac{48}{x^2}\)

Đặt y'>0

=>\(3x^2-\frac{48}{x^2}>0\)

=>\(3x^4-48>0\)

=>\(x^4>16\)

=>x>2 hoặc x<-2

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng (2;+∞); (-∞;-2)

Đặt y'<0

=>\(3x^2-\frac{48}{x^2}<0\)

=>\(\frac{3x^4-48}{x^2}<0\)

=>\(3x^4-48<0\)

=>\(x^4-16<0\)

=>\(\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)<0\)

=>\(x^2-4<0\)

=>\(x^2<4\)

=>-2<x<2

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2;0); (0;2)

c:

ĐKXĐ: x∉{2;-2}

\(y=\frac{2x}{x^2-4}\)

=>\(y^{\prime}=\frac{\left(2x\right)^{\prime}\left(x^2-4\right)-2x\left(x^2-4\right)^{\prime}}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{2\left(x^2-4\right)-2x\cdot2x}{\left(x^2-4\right)^2}\)

\(=\frac{-2x^2-8}{\left(x^2-4\right)^2}<0\)

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-2); (-2;2); (2;+∞)

b: Tọa độ đỉnh là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-\left(-2\right)}{2}=1\\y=-\dfrac{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot3}{4}=-\dfrac{4-12}{4}=\dfrac{-\left(-8\right)}{4}=2\end{matrix}\right.\)

=>Hàm số đồng biến khi x>1 và nghịch biến khi x<1

a: \(A=\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\left(\dfrac{x_1+1}{x_1-1}-\dfrac{x_2+1}{x_2-1}\right):\left(x_1-x_2\right)\)

\(=\dfrac{x_1x_2-x_1+x_2-1-x_1x_2+x_2-x_1+1}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}\cdot\dfrac{1}{x_1-x_2}\)

\(=\dfrac{-2}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}\)

Nếu x1<1; x2<1 thì (x1-1)(x2-1)>0

=>A<0

=>Hàm số nghịch biến

Nếu x1>1; x2>1 thì (x1-1)(x2-1)>0

=>A<0

=>Hàm số nghịch biến

Lời giải:

a) TXĐ: $x\in [-2;2]$

$y'=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=0\Leftrightarrow x=0$

Hàm số có điểm tới hạn $x=0$

Vẽ bảng biến thiên ta thu được hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và nghịch biến trên $(0;2)$

b) TXĐ: $x\in (-\infty;2]\cup [3;+\infty)$

$y'=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$ (loại vì không thuộc TXĐ)

Vẽ bảng biến thiên với các mốc $-\infty; 2;3;+\infty$ ta thấy hàm số đồng biến $(3;+\infty)$ và nghịch biến trên $(-\infty;2)$

1

Cau 1:

a: ĐKXĐ: x-2<>0

=>x<>2

b: ĐKXĐ: 1-x>=0

=>x<=1

c: ĐKXĐ: \(x\in R\)

d: ĐKXĐ: 4-3x>=0 và x<>0

=>x<=3/4 và x<>0

câu 1 B

câu 2 B

câu 3 D

câu 4 C

câu 5 C

câu 8 A

câu 9 D