Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C. Gọi D là trung điểm của OA, qua D vẽ dây cung EF bất kì của (O;R). Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N.Khi EF vuông góc với AB, tính độ dài đoạn thẳng MN theo...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C. Gọi D là trung điểm của OA, qua D vẽ dây cung EF bất kì của (O;R). Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N.Khi EF vuông góc với AB, tính độ dài đoạn thẳng MN theo R
Ta có: EF song song MN (cùng vuông góc AB)
D là trung điểm OA \(\Rightarrow AD=OD=\dfrac{R}{2}\)
Mà \(AC=OB=R\)
\(\Rightarrow AC+AD=OD+OB\Rightarrow DC=BD\)
Hay D là trung điểm BD
\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác BMN
\(\Rightarrow MN=2EF\)
AB là đường kính và E thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0\) hay tam giác ABE vuông tại E
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABE với đường cao ED:
\(ED^2=AD.DB=AD\left(OD+OB\right)=\dfrac{R}{2}.\left(\dfrac{R}{2}+R\right)=\dfrac{3R^2}{4}\)
\(\Rightarrow ED=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow EF=2ED=R\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow MN=2EF=2R\sqrt{3}\)
Gọi G là giao điểm của EF và AB. Ta có:
AG = AD + DG = R + R/2 = 3R/2
Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có:
AC^2 + BC^2 = AB^2
R^2 + BC^2 = (2R)^2
BC = R√3
Ta có:
CG = BC - BC/2 = R√3 - R√3/2 = R√3/2
Vì tam giác CGE vuông tại G nên ta có:
GE = CG * tan(∠GCE) = CG * tan(∠CBE)
GE = R√3/2 * tan(∠CBE)
Vì EF vuông góc với AB nên tam giác BEG vuông tại G, ta có:
BG^2 + GE^2 = BE^2
(R/2)^2 + (R√3/2 * tan(∠CBE))^2 = R^2
R^2/4 + 3R^2/4 * tan^2(∠CBE) = R^2
tan^2(∠CBE) = 1/3
tan(∠CBE) = √(1/3)
sin(∠CBE) = 1/√3
MN = 2 * GM = 2 * GE * sin(∠CBE)
MN = 2 * R√3/2 * √(1/3) = R
Vậy độ dài đoạn thẳng MN là R.