ĐKXĐ:...

Từ pt đầu:

\(\Leftrightarrow y^2+y\sqrt{y^2+1}=x-2y+\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow y^2+1+2y\sqrt{y^2+1}+y^2=2x-4y+2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=2x-4y+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}+y=\sqrt{2x-4y+2}\)

Thế xuống pt dưới:

\(x+\sqrt{x^2-2x+5}=1+2\sqrt{y^2+1}+2y\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)+\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}=2y+\sqrt{\left(2y\right)^2+4}\)

Do hàm \(t+\sqrt{t^2+4}\) đồng biến

\(\Leftrightarrow x-1=2y\Rightarrow x=2y+1\)

Thế vào pt đầu:

\(\left(y+1\right)^2+y\sqrt{y^2+1}=2y+\dfrac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow y^2+y\sqrt{y^2+1}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}+y=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}=2-y\)

\(\Leftrightarrow...\)

ĐKXĐ: ...

Phương trình đầu tương đương:

\(2y^3+y=2\sqrt{1-x}-2x+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2y^3+y=2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}\)

Đặt \(\sqrt{1-x}=a\ge0\)

\(\Rightarrow2y^3+y=2a^3+a\)

Hàm \(f\left(t\right)=2t^3+t\) có \(f'\left(t\right)=6t^2+1>0\) ;\(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow y=a\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}\Rightarrow y^2=1-x\) (với \(y\ge0\))

Thế xuống pt dưới:

\(\sqrt{4x+5}=2x^2-6x-1\)

Đặt \(\sqrt{4x+5}=2t-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-3=2x^2-6x-1\\4x+5=4t^2-12t+9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=x^2-3x+1\\x=t^2-3t+1\end{matrix}\right.\)

Hệ đối xứng, chắc tới đây bạn giải quyết được phần còn lại

\(\begin{cases} x - 4y + 3\sqrt{y} = \sqrt{2x + y} & (1) \\ \sqrt{8y - 1} + x^2 - 12y + 1 = 0 & (2) \end{cases}\)

ĐKXĐ: y>=1/8; x>=-y/2

Đặt \(a=\sqrt{2x+y}\ge0;b=\sqrt{y}\ge\frac{1}{2\sqrt2}>0\)

=>\(a^2=2x+y\)

=>\(x=\frac{a^2 - b^2}{2}\)

(1): \(x - 4y + 3\sqrt{y} = \sqrt{2x + y}\)

=>\(\frac{a^2 - b^2}{2} - 4b^2 + 3b = a\)

=>\(a^2-b^2-8b^2+6b-2a=0\)

=>\(a^2-2a+1-9b^2+6b-1=0\)

=>\(\left(a-1\right)^2-\left(3b-1\right)^2=0\)

=>(a-1-3b+1)(a-1+3b-1)=0

=>(a-3b)(a+3b-2)=0

TH1: a-3b=0

=>a=3b

=>2x+y=9y

=>2x=8y

=>x=4y

Thay x=4y vào (2), ta được:

\(\sqrt{8y - 1} + (4y)^2 - 12y + 1 = 0\)

=>\(\sqrt{8y - 1}+16y^2-12y+1=0\)

Đặt \(t=\sqrt{8y - 1}\ge0\)

=>\(8y=t^2+1\)

=>\(y=\frac{t^2 + 1}{8}\)

\(\sqrt{8y - 1} + 16y^2 - 12y + 1 = 0\)

=>\(t+16\cdot\left(\frac{t^2 + 1}{8}\right)^2-12\cdot\left(\frac{t^2 + 1}{8}\right)+1=0\)

=>\(t+\frac{(t^2 + 1)^2}{4}-\frac{3(t^2 + 1)}{2}+1=0\)

=>\(4t+(t^4+2t^2+1)-6(t^2+1)+4=0\)

=>\(t^4-4t^2+4t-1=0\)

=>\((t^4-1)-4t(t-1)=0\)

=>\((t-1)(t+1)(t^2+1)-4t(t-1)=0\)

=>\((t-1)\left[(t+1)(t^2+1)-4t\right]=0\)

=>\((t-1)(t^3+t^2-3t+1)=0\)

=>\((t-1)^2(t^2+2t-1)=0\)

TH1: t-1=0

=>t=1

=>8y-1=1

=>8y=2

=>y=1/4(nhận)

=>x=4y=1(nhận)

TH2: \(t^2+2t-1=0\)

=>\(t^2+2t+1=2\)

=>\(\left(t+1\right)^2=2\)

=>\(t+1=\sqrt2\) (Do t>0)

=>\(t=\sqrt2-1\)

=>\(8y-1=3-2\sqrt{2}\)

=>\(8y=4-2\sqrt{2}\)

=>\(y=\frac{2 - \sqrt{2}}{4}\) (nhận)

=>\(x=4y=2-\sqrt2\) (nhận)

TH2:a+3b-2=0

=>\(\sqrt{2x+y}+3\sqrt{y}=2\) (3)

y>=1/8

=>\(3\sqrt{y}\ge3\cdot\sqrt{\frac18}=\frac{3}{2\sqrt2}\) ≃1,0606

(2)=>\(x^2 = 12y - 1 - \sqrt{8y - 1}\)

Với y>=1/8, ta xét hàm số \(f\left(y\right)=12y-1-\sqrt{8y - 1}\)

=>f(y)>=0

Khi kết hợp cùng (3), ta sẽ thấy các nghiệm giống hệt với TH1

Vậy: \((x; y) \in \left\{ \left(1; \frac{1}{4}\right), \left(2 - \sqrt{2}; \frac{2 - \sqrt{2}}{4}\right) \right\}\)

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+y}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\) thì pt đầu trở thành:

\(\dfrac{a^2-b^2}{2}-4b^2+3b=a\Leftrightarrow a^2-9b^2+6b=2a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a+3b\right)-2\left(a-3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a+3b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\a=2-3b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)

ĐKXĐ: ....

PT (1)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+x+y+2\right)=0\)

Dễ thấy cái ngoặc to >0. Do đó x = y.

Thay vào PT (2) \(\Leftrightarrow\sqrt{5-x}+\sqrt{x}+\sqrt{3x-1}=x^2+3x+1\)

Đến đây chắc là có đk: \(\frac{1}{3}\le x\le5\). Nghiệm xấu, anh tự giải nốt:D