a: \(y=\frac{2x^2-3}{x-2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x^2-3\right)^{\prime}\cdot\left(x-2\right)-\left(2x^2-3\right)\left(x-2\right)^{\prime}}{\left(x-2\right)^2}\)

=>y'=\(\frac{4x\left(x-2\right)-\left(2x^2-3\right)}{\left(x-2\right)^2}=\frac{4x^2-8x-2x^2+3}{\left(x-2\right)^2}=\frac{2x^2-8x+3}{\left(x-2\right)^2}\)

Đặt y'>0

=>\(2x^2-8x+3>0\)

=>\(x^2-4x+\frac32>0\)

=>\(x^2-4x+4-\frac52>0\)

=>\(\left(x-2\right)^2>\frac52=\frac{10}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2>\frac{\sqrt{10}}{2}\\ x-2<-\frac{\sqrt{10}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x>\frac{2+\sqrt{10}}{2}\\ x<\frac{2-\sqrt{10}}{2}\end{array}\right.\)

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;\(\frac{2-\sqrt{10}}{2}\) ); (\(\frac{2+\sqrt{10}}{2}\);+∞)

Đặt y'<0

=>\(2x^2-8x+3<0\)

=>\(x^2-4x+\frac32<0\)

=>\(x^2-4x+4-\frac52<0\)

=>\(\left(x-2\right)^2<\frac{10}{4}\)

=>\(-\frac{\sqrt{10}}{2}

=>\(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2

Vậy: Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2;\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\)

b:

ĐKXĐ: x<>2; x<>-2

\(y=\frac{x+1}{x^2-4}\)

=>y'=\(\frac{\left(x+1\right)^{\prime}\left(x^2-4\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)^{\prime}}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{x^2-4-\left(x+1\right)\cdot2x}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{x^2-4-2x^2-2x}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-x^2-2x-4}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x^2-4\right)^2}\)

\(=\frac{-\left(x^2+2x+1+3\right)}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-\left(x+1\right)^2-3}{\left(x^2-4\right)^2}<0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-2); (-2;2); (2;+∞)

a: \(y=\frac{x^2+2}{x+1}\)

=>y'=\(\frac{\left(x^2+2\right)^{\prime}\left(x+1\right)-\left(x^2+2\right)\left(x+1\right)^{\prime}}{\left(x+1\right)^2}=\frac{2x\left(x+1\right)-\left(x^2+2\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{2x^2+2x-x^2-2}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x-2}{\left(x+1\right)^2}\)

Đặt y'>0

=>\(x^2+2x-2>0\)

=>\(x^2+2x+1>3\)

=>\(\left(x+1\right)^2>3\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+1>\sqrt3\\ x+1<-\sqrt3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt3-1\\ x<-\sqrt3-1\end{array}\right.\)

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(\sqrt3-1;+\infty\right);\left(-\infty;-\sqrt3-1\right)\)

Đặt y'<0

=>\(x^2+2x-2<0\)

=>\(x^2+2x+1<3\)

=>\(\left(x+1\right)^2<3\)

=>\(-\sqrt3

=>\(-\sqrt3-1

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\sqrt3-1;\sqrt3-1\right)\)

b: \(y=\frac{2x^2-3}{x-2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x^2-3\right)^{\prime}\cdot\left(x-2\right)-\left(2x^2-3\right)\cdot\left(x-2\right)^{\prime}}{\left(x-2\right)^2}=\frac{2\cdot2x\left(x-2\right)-\left(2x^2-3\right)}{\left(x-2\right)^2}=\frac{4x^2-8x-2x^2+3}{\left(x-2\right)^2}=\frac{2x^2-8x+3}{\left(x-2\right)^2}\)

Đặt y'>0

=>\(2x^2-8x+3>0\)

=>\(x^2-4x+1,5>0\)

=>\(x^2-4x+4>\frac52\)

=>\(\left(x-2\right)^2>\frac52=\frac{10}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2>\frac{\sqrt{10}}{2}\\ x-2<-\frac{\sqrt{10}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x>\frac{4+\sqrt{10}}{2}\\ x<\frac{4-\sqrt{10}}{2}\end{array}\right.\)

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(\frac{4+\sqrt{10}}{2};+\infty\right);\left(-\infty;\frac{4-\sqrt{10}}{2}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(2x^2-8x+3<0\)

=>\(x^2-4x+1,5<0\)

=>\(x^2-4x+4<\frac52\)

=>\(\left(x-2\right)^2<\frac52=\frac{10}{4}\)

=>\(-\frac{\sqrt{10}}{2}

=>\(\frac{4-\sqrt{10}}{2}

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{4-\sqrt{10}}{2};\frac{4+\sqrt{10}}{2}\right)\)

c:

ĐKXĐ: x<>2; x<>-2

\(y=\frac{x+1}{x^2-4}\)

=>y'=\(\frac{\left(x+1\right)^{\prime}\cdot\left(x^2-4\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)^{\prime}}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{x^2-4-2x\left(x+1\right)}{\left(x^2-4\right)^2}\)

\(=\frac{x^2-4-2x^2-2x}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-x^2-2x-4}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-x^2-2x-1-3}{\left(x^2-4\right)^2}=\frac{-\left(x+1\right)^2-3}{\left(x^2-4\right)^2}<0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>Hàm số luôn nghịch biến trên mọi khoảng ở TXĐ
d: ĐKXĐ: x<>1; x<>-1

\(y=\frac{2x+3}{x^2-1}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x+3\right)^{\prime}\cdot\left(x^2-1\right)-\left(2x+3\right)\left(x^2-1\right)^{\prime}}{\left(x^2-1\right)^2}\)

\(=\frac{2\left(x^2-1\right)-2x\left(2x+3\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{2x^2-2-4x^2-6x}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{-2x^2-6x-2}{\left(x^2-1\right)^2}\)

\(=\frac{-2\left(x^2+3x+1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}\)

Đặt y'<0

=>\(-2\left(x^2+3x+1\right)<0\)

=>\(x^2+3x+1>0\)

=>\(x^2+3x+\frac94>\frac54\)

=>\(\left(x+\frac32\right)^2>\frac54\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+\frac32>\frac{\sqrt5}{2}\\ x+\frac32<-\frac{\sqrt5}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt5-3}{2}\\ x<\frac{-\sqrt5-3}{2}\end{array}\right.\)

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(\frac{\sqrt5-3}{2};+\infty\right);\left(-\infty;\frac{-\sqrt5-3}{2}\right)\)

Đặt y'>0

=>\(-2\left(x^2+3x+1\right)>0\)

=>\(x^2+3x+1<0\)

=>\(x^2+3x+\frac94<\frac54\)

=>\(\left(x+\frac32\right)^2<\frac54\)

=>\(-\frac{\sqrt5}{2}

=>\(\frac{-\sqrt5-3}{2}

=>Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{-\sqrt5-3}{2};\frac{\sqrt5-3}{2}\right)\)

Lời giải:
a. Hệ số 2>0 nên hàm đồng biến 

b. Hệ số $1-\sqrt{2}<0$ nên hàm nghịch biến 

c. Hệ số $-5<0$ nên hàm nghịch biến 

d. Hệ số $1+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến

e. Hệ số $\sqrt{3}-1>0$ nên hàm đồng biến 

f. Hệ số $2+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến.

a: ĐKXĐ: \(1-x^2\ge0\)

=>\(x^2\le1\)

=>-1<=x<=1

\(y=x\cdot\sqrt{1-x^2}\)

=>y'=\(x^{\prime}\cdot\sqrt{1-x^2}+x\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{\prime}\)

=>y'=\(\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\)

Đặt y'>0

=>\(1-2x^2>0\)

=>\(2x^2<1\)

=>\(x^2<\frac12\)

=>\(-\frac{\sqrt2}{2}

=>Hàm số đồng biến trên \(\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(1-2x^2<0\)

=>\(2x^2>1\)

=>\(x^2>\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt2}{2}\\ x<-\frac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\)

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (\(\frac{\sqrt2}{2}\) ;+∞) và (-∞;\(-\frac{\sqrt2}{2}\) )

b: ĐKXĐ: \(3x^2-x^3\ge0\)

=>\(x^3-3x^2\le0\)

=>\(x^2\left(x-3\right)\le0\)

=>x=0 hoặc x-3<=0

=>x=0 hoặc x<=3

=>x∈(-∞;3]

\(y=\sqrt{3x^2-x^3}\)

=>y'=\(\frac{\left(3x^2-x^3\right)^{\prime}}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}=\frac{3\cdot2x-3x^2}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}=\frac{6x-3x^2}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}\)

Đặt y'>0

=>\(6x-3x^2>0\)

=>\(3x^2-6x<0\)

=>3x(x-2)<0

=>x(x-2)<0

=>0<x<2

=>Hàm số đồng biến trên (0;2)

Đặt y'<0

=>\(6x-3x^2<0\)

=>\(3x^2-6x>0\)

=>3x(x-2)>0

=>x(x-2)>0

=>x>2 hoặc x<0

=>Hàm số nghịch biến trên (2;+∞) và (-∞;0)

a) Vì \(3-2\sqrt{2}>0\) nên hàm số đồng biến

b) Thay \(x=3+2\sqrt{2}\) vào hàm số, ta được:

\(y=\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}-1\)

\(=9-8+\sqrt{2}-1\)

\(=\sqrt{2}\)

a) `a=3-2\sqrt2>0 =>` Hàm số đồng biến.

b) `y=(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)+\sqrt2-1=3^2-(2\sqrt2)^2+\sqrt2-1=\sqrt2`

`=> y=\sqrt2` khi `x=3+2\sqrt2`

ĐKXĐ: \(x^2-6x+5>=0\)

=>(x-1)(x-5)>=0

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>=0\\x-5>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=1\\x>=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>=5\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1< =0\\x-5< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< =1\\x< =5\end{matrix}\right.\)

=>x<=1

\(y=\sqrt{x^2-6x+5}\)

=>\(y'=\dfrac{\left(x^2-6x+5\right)'}{2\sqrt{x^2-6x+5}}\)

=>\(y'=\dfrac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+5}}\)

Đặt y'>0

=>\(\dfrac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+5}}>0\)

=>2x-6>0

=>x>3

kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>5

Đặt y'<0

=>\(\dfrac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+5}}< 0\)

=>2x-6<0

=>x<3

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x<1

Vậy: Hàm số nghịch biến trên (-\(\infty\);1) và đồng biến trên (5;+\(\infty\))