\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{\left.0\right.}\)

=>\(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}\)

=>M là trung điểm của AB

\(2\cdot\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NC}=-2\cdot\overrightarrow{NA}=2\cdot\overrightarrow{AN}\)

=>N nằm giữa A và C sao cho NC=2NA

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MI}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{MN}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\left(-\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{DB}=k\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\overrightarrow{BD}=-k\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=-k\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\left(-k+1\right)\)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(-k+1\right)\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{-k\cdot\overrightarrow{DC}}{\left(-k+1\right)\cdot\overrightarrow{DC}}=\frac{-k}{-k+1}=\frac{k}{k-1}\)

=>\(\overrightarrow{BD}=\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(1-\frac{k}{k-1}\right)\cdot\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac{-1}{k-1}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{AC}\)

Để A,I,D thẳng hàng thì \(\frac{-1}{k-1}:\frac14=\frac{k}{k-1}:\frac16\)

=>\(\frac{-4}{k-1}=\frac{6k}{k-1}\)

=>6k=-4

=>\(k=-\frac23\)

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD ta có   2 M I → = M A → + M C → 2 M I → = M B → + M D → ,    ∀ M .

Do đó :

M A → + M B → + M C → + M D → = k ⇔ ( M A → + M C → ) + ( M B → + M D → ) = k ⇔ 2 M I → + 2 M I → = k ⇔ 4 M I → = k ⇔ M I → = k 4 . ( * )

Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường tròn tâm I bán kính  R = k 4 .

Chọn C.

Gọi \(N\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AN}=\left(x-2;y\right)\\\overrightarrow{BN}=\left(x-1;y-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(NA=2NB\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+y^2}=2\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4+y^2=4\left[x^2-2x+1+y^2-4y+4\right]\)

\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2-4x-16y+16=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}y+\frac{16}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\left(y-\frac{8}{3}\right)^2=\frac{20}{9}\)

\(\Rightarrow a+b+R^2=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}+\frac{20}{9}=\frac{50}{9}\)

a: Thay x=5 vào pt, ta được:

5^2-2(m-1)*5+m^2-4m+3=0

=>m^2-4m+3+25-10m+10=0

=>m^2-14m+38=0

=>(m-7)^2=11

=>\(m=\pm\sqrt{11}+7\)

b: x1+x2=2m-2

x1*x2=m^2-4m+3

(x1+x2)^2-4x1x2

=4m^2-8m+4-4m^2+4m-6

=-4m-2

(x1+x2)^2-4x1x2+2(x1+x2)

=-4m-2+4m-4=-6

MA^2+MB^2=K^2

=(A^2+B^2)×M=k^2