ta có: hình thang ABCD là hình thang vuông

kẻ BH vuông góc với DC=> ABHD là hình vuông =>BH=AD=4cm

Ta có:AB=DC=4cm=>hc=8-4=4cm

dùng máy tính bỏ túi để tính C=SHIFT + TAN =45=góc CBH

=> góc C=45+90=135 

a: AB//CD

=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(\hat{ABC}=180^0-45^0=135^0\)

b: Kẻ BH⊥CD tại H

Xét tứ giác ABHD có \(\hat{BAD}=\hat{ADH}=\hat{BHD}=90^0\)

nên ABHD là hình chữ nhật

=>BH=AD=4cm; AB=DH=3cm

Xét ΔBHC vuông tại H có \(\hat{C}=45^0\)

nên ΔBHC vuông cân tại H

=>BH=HC=4cm và \(BC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\) (cm)

DC=DH+HC=3+4=7(cm)

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+BC+CD+DA

=3+4+7+\(4\sqrt2\)

\(=14+4\sqrt2\) (cm)

c: Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot BH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\frac12\cdot\left(3+7\right)\cdot4=2\cdot10=20\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi O là giao điểm của AD và BC

AB//DC

=>\(\hat{OBA}=\hat{BCD}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{OBA}=30^0\)

Xét ΔOCD có \(\hat{ODC}+\hat{OCD}=60^0+30^0=90^0\)

nên ΔOCD vuông tại O

=>\(\hat{COD}=90^0\)

xét ΔOAB vuông tại O có sin OBA=\(\frac{OA}{AB}\)

=>\(\frac{OA}{20}=\sin30=\frac12\)

=>OA=10(cm)

ΔOAB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

=>\(OB^2=20^2-10^2=300\)

=>\(OB=10\sqrt3\) (cm)

Xét ΔOAB có AB//CD
nên \(\frac{OA}{AD}=\frac{OB}{BC}\)

=>\(\frac{10\sqrt3}{BC}=\frac{10}{12}=\frac{10\sqrt3}{12\sqrt3}\)

=>\(BC=12\sqrt3\) (cm)

OD=OA+AD=10+12=22(cm)

Xét ΔODC có AB//CD

nên \(\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OD}\)

=>\(\frac{10}{22}=\frac{20}{CD}\)

=>CD=44(cm)

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+BC+CD+DA

=20+12+44+\(12\sqrt3=76+12\sqrt3\) (cm)