a: \(\left(2x-y+7\right)^{2022}>=0\forall x,y\)

\(\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x\)

=>\(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x,y\)

mà \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}< =0\forall x,y\)

nên \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+7=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2x+7=9\end{matrix}\right.\)

\(P=x^{2023}+\left(y-10\right)^{2023}\)

\(=1^{2023}+\left(9-10\right)^{2023}\)

=1-1

=0

c: \(\left|x-3\right|>=0\forall x\)

=>\(\left|x-3\right|+2>=2\forall x\)

=>\(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2>=4\forall x\)

mà \(\left|y+3\right|>=0\forall y\)

nên \(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y+3\right|>=4\forall x,y\)

=>\(P=\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y-3\right|+2019>=4+2019=2023\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và y-3=0

=>x=3 và y=3

b: \(T=\frac{2x^4-4x^2+8}{x^4+4}\)

=>\(T\left(x^4+4\right)=2x^4-4x^2+8\)

=>\(T\cdot x^4+4T-2x^4+4x^2-8=0\)

=>\(x^4\cdot\left(T-2\right)+4x^2+4T-8=0\) (1)

Đặt \(a=x^4\)

(1) sẽ trở thành: \(a^2\cdot\left(T-2\right)+4\cdot a+4T-8=0\) (2)

\(\Delta=4^2-4\left(T-2\right)\left(4T-8\right)=16-16\left(T-2\right)\cdot\left(T-2\right)\)

\(=16-16\left(T-2\right)^2\)

Để (2) có nghiệm thì Δ>=0

=>\(16-16\left(T-2\right)^2\ge0\)

=>\(16\left(T-2\right)^2\le16\)

=>\(\left(T-2\right)^2\le1\)

=>-1<=T-2<=1

=>1<=T<=3

Để T có giá trị lớn nhất thì T=3

=>\(2x^4-4x^2+8=3x^4+12\)

=>\(3x^4+12-2x^4+4x^2-8=0\)

=>\(x^4+4x^2+4=0\)

=>\(\left(x^2+2\right)^2=0\) (vô lý)

=>T không có giá trị lớn nhất

a: \(S=\frac{5x^4+4x^2+10}{x^4+2}=5+\frac{4x^2}{x^4+2}\)

Đặt \(A=\frac{4x^2}{x^4+2}\)

=>\(A\left(x^4+2\right)=4x^2\)

=>\(A\cdot x^4-4x^2+2A=0\) (1)

Đặt \(t=x^2\) (ĐK: t>=0)

(1) sẽ trở thành: \(A\cdot t^2-4t+2A=0\) (2)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot A\cdot2A=-8A^2+16\)

Để (2) có nghiệm thì Δ>=0

=>\(-8A^2+16\ge0\)

=>\(8A^2\le16\)

=>\(A^2\le2\)

=>\(-\sqrt2\le A\le\sqrt2\)

=>\(-\sqrt2+5\le A+5\le\sqrt2+5\)

=>\(5-\sqrt2\le S<=5+\sqrt2\)

=>S nhỏ nhất khi \(S=5-\sqrt2\)

=>\(A=-\sqrt2\)

(2) sẽ trở thành: \(t^2\cdot\left(-\sqrt2\right)-4t-2\sqrt2=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot\left(-\sqrt2\right)\cdot\left(-2\sqrt2\right)=16-4\cdot4=0\)

=>(2) có nghiệm duy nhất là \(t=\frac{4}{2\cdot\left(-\sqrt2\right)}=-\sqrt2\) (loại)

=>S không có giá trị nhỏ nhất

\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)

\(P=2x^2-\left(2-x\right)^2-5x+\dfrac{1}{x}+2020=x^2-x+\dfrac{1}{x}+2016\)

\(P=x^2+1-x+\dfrac{1}{x}+2015\ge2x-x+\dfrac{1}{x}+2015\)

\(P\ge x+\dfrac{1}{x}+2015\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}+2015=2017\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

a: \(a^2+4b^2+9c^2=2ab+6bc+3ac\)

=>\(2a^2+8b^2+18c^2-4ab-12bc-6ac=0\)

=>\(a^2-4ab+4b^2+4b^2-12bc+9c_{}^2+a^2-6ac+9c^2=0\)

=>\(\left(a-2b\right)^2+\left(2b-3c\right)^2+\left(a-3c\right)^2=0\)

=>\(\begin{cases}a-2b=0\\ 2b-3c=0\\ 3c-a=0\end{cases}\Rightarrow a=2b=3c\)

\(A=\left(a-2b+1\right)^{2022}+\left(2b-3c-1\right)^{2023}+\left(3c-a+1\right)^{2024}\)

\(=\left(a-a+1\right)^{2022}+\left(2b-2b-1\right)^{2023}+\left(a-a+1\right)^{2024}\)

=1-1+1

=1

b: \(x^2+2xy+6x+6y+2y^2+8=0\)

=>\(x^2+2xy+y^2+6\left(x+y\right)+9+y^2-1=0\)

=>\(\left(x+y+3\right)^2-1=-y^2\)

=>\(-y^2=\left(x+y+2\right)\left(x+y+4\right)\)

=>\(-y^2=\left(x+y+2024-2022\right)\left(x+y+2024-2020\right)\)

=>\(-y^2=\left(A-2022\right)\left(A-2020\right)\)

mà \(-y^2\le0\forall y\)

nên (A-2022)(A-2020)<=0

=>2020<=A<=2022

\(A_{\min}=2020\) khi x+y+2=0 và y=0

=>y=0 và x=-2-y=-2-0=-2

\(A\max=2022\) khi x+y+4=0 và y=0

=>y=0 và x=-y-4=-4

A.

$a^2+4b^2+9c^2=2ab+6bc+3ac$

$\Leftrightarrow a^2+4b^2+9c^2-2ab-6bc-3ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+8b^2+18c^2-4ab-12bc-6ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2+4b^2-4ab)+(a^2+9c^2-6ac)+(4b^2+9c^2-12bc)=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-3c)^2+(2b-3c)^2=0$

$\Rightarrow a-2b=a-3c=2b-3c=0$

$\Rightarrow A=(0+1)^{2022}+(0-1)^{2023}+(0+1)^{2024}=1+(-1)+1=1$

B.

$x^2+2xy+6x+6y+2y^2+8=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2xy+y^2)+y^2+6x+6y+8=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^2+6(x+y)+9+y^2-1=0$

$\Leftrightarrow (x+y+3)^2=1-y^2\leq 1$ (do $y^2\geq 0$ với mọi $y$)

$\Rightarrow -1\leq x+y+3\leq 1$

$\Rightarrow -4\leq x+y\leq -2$

$\Rightarrow 2020\leq x+y+2024\leq 2022$

$\Rightarrow A_{\min}=2020; A_{\max}=2022$

Lời giải:

$A=5x^2+y^2+4xy-2x-2y+2020$

$=(4x^2+y^2+4xy)+x^2-2x-2y+2020$

$=(2x+y)^2-2(2x+y)+x^2+2x+2020$

$=(2x+y)^2-2(2x+y)+1+(x^2+2x+1)+2018$

$=(2x+y-1)^2+(x+1)^2+2018\geq 2018$

Vậy GTNN của $A$ là $2018$. Giá trị này đạt tại $2x+y-1=0$ và $x+1=0$

Hay $x=-1; y=3$

\(M=5x^2+y^2-2x+2y+2xy+2004\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)+2y\left(x+1\right)+y^2+4x^2-4x+1+2002\)

\(=\left(x+1\right)^2+2y\left(x+1\right)+y^2+\left(2x-1\right)^2+2002\)

\(=\left(x+1+y\right)^2+\left(2x-1\right)^2+2003\ge2002\) với mọi x,y

=> \(M_{min}=2002\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{2}\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(M_{min}=2002\)

Dòng 4 toi viết nhầm nha, là +2002 

Hướng dẫn:

\(A=\left|2x-2\right|+\left|2x-2023\right|\)

\(=\left|2x-2\right|+\left|2023-2x\right|\)

\(\ge\left|2x-2+2023-2x\right|=2021\)

Vậy GTNN của A là 2021, đạt được khi và chỉ khi \(\left(2x-2\right)\left(2023-2x\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow1\le x\le\dfrac{2023}{2}\)

m tra ở đâu