Mình mẫu đầu với cuối nhé:

a)  Đặt \(ƯCLN\left(3n+4,3n+7\right)=d\)  

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+4⋮d\\3n+7⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3n+7\right)-\left(3n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3⋮d\)

 \(\Rightarrow d\in\left\{1,3\right\}\)

Nhưng do \(3n+4,3n+7⋮̸3\) nên \(d\ne3\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(3n+4,3n+7\right)=1\) hay \(3n+4,3n+7\) nguyên tố cùng nhau.

 e) \(ƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=d\)

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\) \(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=1\), ta có đpcm.

a,tim n \(\in\) N; 4n + 3 và 2n + 3 nguyên tố cùng nhau

    Gọi ước chung lớn nhất của 4n + 3 và 2n + 3 là d ta có:

             \(\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\\left(2n+3\right).2⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\4n+6⋮d\end{matrix}\right.\)

     ⇒  4n + 6 - (4n + 3) ⋮ d  ⇒ 4n + 6 - 4n - 3 ⋮ d ⇒ 3 ⋮ d

     ⇒ d = 1; 3

Để 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì 

        2n + 3 không chia hết cho 3

        2n không chia hết cho 3

        n = 3k + 1; hoặc n = 3k + 2 (k \(\in\) N)

a) Đặt d = (4n + 3, 2n + 3).

Ta có \(2\left(2n+3\right)-\left(4n+3\right)⋮d\Leftrightarrow3⋮d\Leftrightarrow\) d = 1 hoặc d = 3.

Do đó muốn hai số 4n + 3 và 2n + 3 nguyên tố cùng nhau thì d khác 3, tức 4n + 3 không chia hết cho 3 hoặc 2n + 3 không chia hết cho 3

\(\Leftrightarrow n⋮3̸\).

Vậy các số tự nhiên n cần tìm là các số tự nhiên không chia hết cho 3.

Em con quá non

\(a,\left(n+5\right)⋮\left(n+2\right)\)

\(\left(n+2+3\right)⋮\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow3⋮\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+2\in\left(1;-1;3;-3\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left(-1;-3;1;-5\right)\)

b,c,d Tự làm

* Do p > 3 , mà một số > 3 khi chia cho 3 có hai trường hợp xảy ra : 3k + 1 ; 3k + 2.(k thuộc N)(ko lấy 3k vì 3k là hợp số)

Với p = 3k + 1

=> p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 ko phải là SNT

Với p = 3k + 2

=> p + 8 = 3k + 10 là SNT

=> p + 100 = 3k + 2 + 100 = 3k + 102 là hợp số .

Vậy p + 100 là hợp số

a: ĐKXĐ: n<>1

Để \(\frac{2n-1}{n-1}\) là số nguyên thì 2n-1⋮n-1

=>2n-2+1⋮n-1

=>1⋮n-1

=>n-1∈{1;-1}

=>n∈{2;0}

b: ĐKXĐ: n<>-1

Để \(\frac{3n+5}{n+1}\) là số nguyên thì 3n+5⋮n+1

=>3n+3+2⋮n+1

=>2⋮n+1

=>n+1∈{1;-1;2;-2}

=>n∈{0;-2;1;-3}

c: ĐKXĐ: n<>-3

Để \(\frac{4n-2}{n+3}\) là số nguyên thì 4n-2⋮n+3

=>4n+12-14⋮n+3

=>-14⋮n+3

=>n+3∈{1;-1;2;-2;7;-7;14;-14}

=>n∈{-2;-4;-1;-5;4;-10;11;-17}

d: ĐKXĐ: n<>-4/3

Để \(\frac{6n-4}{3n+4}\) là số nguyên thì 6n-4⋮3n+4

=>6n+8-12⋮3n+4

=>-12⋮3n+4

=>3n+4∈{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12}

=>3n∈{-3;-5;-2;-6;-1;-7;0;-8;2;-10;8;-16}

=>n∈{\(-1;-\frac53;-\frac23;-2;-\frac13;-\frac73;0;-\frac83;\frac23;-\frac{10}{3};\frac83;-\frac{16}{3}\) }

mà n là số nguyên

nên n∈{-1;-2;0}

e: ĐKXĐ: n<>1/2

Để \(\frac{n+3}{2n-1}\) là số nguyên thì n+3⋮2n-1

=>2n+6⋮2n-1

=>2n-1+7⋮2n-1

=>7⋮2n-1

=>2n-1∈{1;-1;7;-7}

=>2n∈{2;0;8;-6}

=>n∈{1;0;4;-3}

f: \(\frac{6n-4}{3n-2}=\frac{2\left(3n-2\right)}{3n-2}=2\) là số nguyên với mọi n nguyên

g: ĐKXĐ: n<>1/3

Để \(\frac{2n+3}{3n-1}\) là số nguyên thì 2n+3⋮3n-1

=>6n+9⋮3n-1

=>6n-2+11⋮3n-1

=>11⋮3n-1

=>3n-1∈{1;-1;11;-11}

=>3n∈{2;0;12;-10}

=>n∈{2/3;0;4;-10/3}

mà n nguyên

nên n∈{0;4}

Lời giải:

Đặt tổng trên là $A$.

Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)

Xét $n\geq 2$. Khi đó:

$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$

Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.

Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.

Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý

Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.

để A là số nguyên dương thì

4n+8\(⋮\)2n+3

Ta có 2(2n+3)\(⋮\)2n+3=> 4n+6\(⋮\)2n+3

=>4n+8-4n-6\(⋮\)2n+3

=>2\(⋮\)2n+3

Đến đây bạn tự làm tiếp nhé

Để A là số nguyên dương thì 4n+8 chia hết cho 2n+3

                                      =>2.(2n+3) - 6 + 8 chia hết cho 2n +3

                                      =>2.(2n+3)+2        chia hết cho 2n+3

  vì 2.(2n+3) chia hết cho 2n+3 nên 2 chia hết cho 2n+3

                                      =>2n+3 thuộc ước của 2 thuộc 1;2

  Mà 2n+3 lẻ nên 2n+3 = 1=>n= - 1