Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối |a| + |b| \(\ge\) |a + b| ta có:

A = |x - 2001| + |x - 1| = |x - 2001| + |1 - x| \(\ge\) |(x - 2001) + (1 - x)| = |-2000| = 2000

=> A nhỏ nhất là 2000 ; chẳng hạn tại x = 1

Ta có: \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x+y\right|\right)^2\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+y^2+2.\left|x\right|.\left|y\right|\)

\(\Leftrightarrow2xy\le\left|2xy\right|\)( BĐT luôn đúng )

Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

\(A=\left|x-2001\right|+\left|x-1\right|\)

\(=\left|2001-x\right|+\left|x-1\right|\)

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(A=\left|2001-x\right|+\left|x-1\right|\ge\) \(\left|2001-x+x-1\right|\)

\(\Rightarrow A\ge\left|2001-1\right|=\left|2000\right|=2000\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}2001-x\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2001\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1\le x\le2001\)

Vậy \(MIN_A=2000\) tại \(1\le x\le2001\)

B có GTNN

<=> |x - 2001| và |x - 3| có GTNN

Mà giá trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 0.

=> x - 2001 = 0 hoặc x - 3 = 0

=> x = 2001 hoặc x = 3

- Nếu x = 2001 ta có P = 0 + 1998 = 1998

- Nếu x = 3 ta có P = 1998 + 0 = 1998

Vậy GTNN của P là 1998 <=> x = 2001 hoặc x = 3