1)\(\dfrac{c-b}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b-a}{\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{c-b+a-c+b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)+\left(x-a\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)}\)

Áp dụng hoán vị vòng \(b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow a\rightarrow b\) vào VT , ta được :

\(\left(a+b+c+d-x\right)\)[\(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-x\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(b-x\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(c-d\right)\left(c-x\right)}\)\(+\frac{1}{\left(d-a\right)\left(d-b\right)\left(d-c\right)\left(d-x\right)}\).

Quy đồng mẫu thức và tính toán biểu thức trong [ ] ta được :

\(\frac{-1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}\)

Vậy ...............

\(M=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}.\dfrac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}.\dfrac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\) (loạn mắt quá !!! )

\(M=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c-a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Thôi để bữa sau a làm (đau mắt quá :)))

Bài cuối hơi khó nhìn, bạn thông cảm nhé! ^^

a) \(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=a^2b-a^2c+c^2a-c^2b+b^2\left(c-a\right)\)

\(=\left(a^2b-c^2b\right)-\left(a^2c-c^2a\right)-b^2\left(a-c\right)\)

\(=b\left(a^2-c^2\right)-ac\left(a-c\right)-b^2\left(a-c\right)\)

\(=b\left(a-c\right)\left(a+c\right)-ac\left(a-c\right)-b^2\left(a-c\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left[b\left(a+c\right)-ac-b^2\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(ab+bc-ac-b^2\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(ab-b^2\right)+\left(bc-ac\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[b\left(a-b\right)+c\left(b-a\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[b\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)

b) \(a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)\)

\(=a^3b-a^3c+c^3a-c^3b+b^3\left(c-a\right)\)

\(=\left(a^3b-c^3b\right)-\left(a^3c-c^3a\right)-b^3\left(a-c\right)\)

\(=b\left(a^3-c^3\right)-ac\left(a^2-c^2\right)-b^3\left(a-c\right)\)

\(=b\left(a-c\right)\left(a^2+ac+c^2\right)-ac\left(a-c\right)\left(a+c\right)-b^3\left(a-c\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left[b\left(a^2+ac+c^2\right)-ac\left(a+c\right)-b^3\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(ba^2+abc+bc^2-a^2c-ac^2-b^3\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(ba^2-a^2c\right)+\left(abc-ac^2\right)+\left(bc^2-b^3\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[a^2\left(b-c\right)+ac\left(b-c\right)+b\left(c^2-b^2\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[a^2\left(b-c\right)+ac\left(b-c\right)-b\left(b^2-c^2\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[a^2\left(b-c\right)+ac\left(b-c\right)-b\left(b-c\right)\left(b+c\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[a^2+ac-b\left(b+c\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a^2+ac-b^2-bc\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)\)