\(A=\dfrac{x-2\sqrt{xy}+y+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\\ A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{x}+\sqrt{y}\\ A=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{y}\)

Đề sai

\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}\)

\(=2\sqrt{x}\)

Ta có: \(x+y+z\ge-\sqrt{xy}-\sqrt{yz}-\sqrt{xz}\)

=>\(x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\ge0\)

=>\(2x+2y+2z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}\ge0\)

=>\(\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y+2\sqrt{yz}+z\right)+\left(x+2\sqrt{xz}+z\right)\ge0\)

=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

=>ĐPCM

$P=\dfrac{x}{1-yz}+\dfrac{y}{1-xz}-\dfrac{z}{1+xy}$

Vì $z\le 0,\ x,y\ge 0$ nên $1-yz\le 1-z,\qquad 1-xz\le 1-z,\qquad 1+xy\le 1$

Suy ra $\dfrac{x}{1-yz}\ge \dfrac{x}{1-z}$

$\dfrac{y}{1-xz}\ge \dfrac{y}{1-z}$$-\dfrac{z}{1+xy}\ge -z$

Do đó $P\ge \dfrac{x+y}{1-z}-z$

$=\dfrac{x+y-z+z^2}{1-z}$$\ge \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-z+z^2}{1-z}$

Đặt $t=-z\ge0$.

Khi đó $x^2+y^2=1-t^2$ nên $P\ge \dfrac{\sqrt{1-t^2}+t+t^2}{1+t}$

Ta cần chứng minh $\sqrt{1-t^2}+t+t^2\ge 1+t$

$\Leftrightarrow \sqrt{1-t^2}\ge 1-t^2$

Điều này đúng vì $0\le 1-t^2\le 1$ và $\sqrt{u}\ge u\qquad (0\le u\le 1)$.

Suy ra $P\ge 1$.

Vậy $\dfrac{x}{1-yz}+\dfrac{y}{1-xz}-\dfrac{z}{1+xy}\ge 1.$

Lời giải:

Giả sử $x>0; y< 0$. Khi đó:

\((xy-x^2)\sqrt{\frac{-y}{x}}=(y-x)x\sqrt{\frac{-y}{x}}=(y-x)\sqrt{-xy}\)

\((xy-y^2)\sqrt{\frac{-x}{y}}=(x-y)y\sqrt{\frac{-x}{y}}=(y-x)(-y)\sqrt{\frac{-x}{y}}=(y-x)\sqrt{(-y)^2.\frac{-x}{y}}=(y-x)\sqrt{-xy}\)

\(\Rightarrow (xy-x^2)\sqrt{\frac{-y}{x}}=(xy-y^2)\sqrt{\frac{-x}{y}}\Rightarrow \frac{xy-x^2}{\sqrt{\frac{-x}{y}}}=\frac{xy-y^2}{\sqrt{\frac{-y}{x}}}\) (đpcm)

Đề lạ thế bạn ơi! Vế trái luôn không âm mà vế phải luôn không dương nên đây là điều hiển nhiên.

Mình nghĩ đề phải chứng minh thế này:

\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

Nếu thế thì cách làm như sau:

Ta có: Do x, y, z không âm nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2\sqrt{xy}\ge0\\y+z-2\sqrt{yz}\ge0\\z+x-2\sqrt{xz}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)

​\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\left(đpcm\right)\)​

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)

\(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\dfrac{\sqrt{xy}}{x-y}\left(dkxd:x,y\ge0,x\ne y\right)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{x^2}-\sqrt{y^2}}.\dfrac{x-y}{\sqrt{xy}}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{xy}+y-x+2\sqrt{xy}-y}{x-y}.\dfrac{x-y}{\sqrt{xy}}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=4\)

\(B=\dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{x+\sqrt{xy}+y}-2\sqrt{y}\left(dkxd:x,y\ge0,x\ne y\right)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{x+\sqrt{xy}+y}-2\sqrt{y}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\sqrt{y}\\ =0\)

Vậy biểu thức A và B không phụ thuộc vào biến.

A/

\(A=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}.\frac{x-y}{\sqrt{xy}}\\ =\frac{x+y+2\sqrt{xy}-(x+y-2\sqrt{xy})}{x-y}.\frac{x-y}{\sqrt{xy}}\\ =\frac{4\sqrt{xy}}{x-y}.\frac{x-y}{\sqrt{xy}}=4\)

Vậy biểu thức A không phụ thuộc giá trị vào biến.

B/
\(B=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{x+\sqrt{xy}+y}-2\sqrt{y}\\ =\sqrt{x}+\sqrt{y}-(\sqrt{x}-\sqrt{y})-2\sqrt{y}\\ =2\sqrt{y}-2\sqrt{y}=0\)

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

đk : \(x\ge0;y\ge0;x\ne y\)

A = \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}-\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{xy}}{x-y}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{2\sqrt{xy}}{x-y}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}=\dfrac{2\sqrt{xy}}{x-y}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}-y}{x-y}=\dfrac{2\sqrt{xy}}{x-y}\)

\(\Rightarrow\) \(x-2\sqrt{xy}-y=2\sqrt{xy}\) \(\Leftrightarrow\) \(x-y=4\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\) A = \(\dfrac{2\sqrt{xy}}{4\sqrt{xy}}=\dfrac{1}{2}\)

không biết sai chỗ nào ??? sao bài làm lại trái với câu hỏi thế này ???