ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow m^2+m\left(x^2-3x-4\right)-m\sqrt{x+7}-\left(x^2-3x-4\right)\sqrt{x+7}=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^2-3x-4+m\right)-\sqrt{x+7}\left(x^2-3x-4+m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-\sqrt{x+7}\right)\left(x^2-3x-4+m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{x+7}\left(1\right)\\m=-x^2+3x+4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(m\) nguyên tố \(\Rightarrow\) (1) luôn có đúng 1 nghiệm

Để pt có số nghiệm nhiều nhất \(\Rightarrow\) (2) có 2 nghiệm pb

\(\Rightarrow y=m\) cắt \(y=-x^2+3x+4\) tại 2 điểm pb thỏa mãn \(x\ge-7\)

\(\Rightarrow-66\le m\le\dfrac{25}{4}\Rightarrow m=\left\{2;3;5\right\}\)

Bài 2 : 

Theo Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-4\end{cases}}\)

mà \(\left(x_1+x_2\right)^2=4\Rightarrow x_1^2+x_2^2=4+8=12\)

Ta có : \(T=x_1\left(x_1-2x_2\right)+x_2\left(x_2-2x_1\right)\)

\(=x_1^2-2x_2x_1+x_2^2-2x_1x_2=12+16=28\)

a: Thay x=-2 vào phương trình, ta được:

\(\left(-2\right)^3-\left(m^2-m+7\right)\cdot\left(-2\right)-3\left(m^2-m-2\right)=0\)

=>\(-8+2m^2-2m+14-3m^2+3m+6=0\)

=>\(-m^2+m+12=0\)

=>\(m^2-m-12=0\)

=>(m-4)(m+3)=0

=>m=4 hoặc m=-3

b: Khi m=4 thì phương trình trở thành:

\(x^3-\left(4^2-4+7\right)x-3\left(4^2-4-2\right)=0\)

=>\(x^3-\left(16-4+7\right)x-3\left(16-4-2\right)=0\)

=>\(x^3-19x-30=0\)

=>\(x^3+2x^2-2x^2-4x-15x-30=0\)

=>\(\left(x+2\right)\left(x^2-2x-15\right)=0\)

=>(x+2)(x-5)(x+3)=0

=>x∈{-2;5;-3}

Khi m=-3 thì phương trình trở thành:

\(x^3-\left\lbrack\left(-3\right)^2-\left(-3\right)+7\right\rbrack x-3\left\lbrack\left(-3\right)^2-\left(-3\right)-2\right\rbrack=0\)

=>\(x^3-\left\lbrack9+3+7\right\rbrack x-3\left(9+3-2\right)=0\)

=>\(x^3-19x-30=0\)

=>\(x^3+2x^2-2x^2-4x-15x-30=0\)

=>\(\left(x+2\right)\left(x^2-2x-15\right)=0\)

=>(x+2)(x-5)(x+3)=0

=>x∈{-2;5;-3}

Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=+\infty.1=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(a>0\) sao cho \(f\left(a\right)>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)

\(f\left(-1\right)=m^2+1>0;\forall m\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=-\infty.1=-\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(b\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-1\right)\)

Vậy pt đã cho luôn có ít nhất 3 nghiệm thực

Ta có: \(x^2 - 2x - 2\vert{}x - m\vert{} + 1 = 0\)

=>\(x^2-2x+1=2\left|x-m\right|\)

=>\(\left(x-1\right)^2=2\left|x-m\right|\) (1)

TH1: x>=m

(1) sẽ trở thành: \((x-1)^2=2(x-m)\iff x^2-2x+1=2x-2m\)

=>\(x^2-4x+2m+1=0\) (2) với x>=m

TH2: x<m

(1) sẽ trở thành: \(\left(x-1\right)^2=2\left(-x+m\right)\)

=>\(x^2-2x+1=-2x+2m\)

=>\(x^2=2m-1\) (3) với x<m

(3): \(x^2=2m-1\)

Nếu 2m-1<0 thì \(x^2<0\)

=>(3) vô nghiệm

Nếu 2m-1=0 thì \(x^2=0\)

=>x=0 và 2m=1

=>x=0 và m=1/2

mà 0<1/2

nên Nhận

Khi m=1/2 thì (1): \(x^2-4x+2\cdot\frac12+1=0\)

=>\(x^2-4x+2=0\)

=>\(x^2-4x+4=2\)

=>\(\left(x-2\right)^2=2\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=\sqrt2\\ x-2=-\sqrt2\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2+\sqrt2\\ x=2-\sqrt2\end{array}\right.\)

mà x>=m=1/2

nên \(\left[\begin{array}{l}x=2+\sqrt2\\ x=2-\sqrt2\end{array}\right.\) nhận hết

=>m=1/2 thỏa mãn

Nếu 2m-1>0 thì \(x^2=2m-1\) có hai nghiệm phân biệt

2m-1>0

=>m>1/2

\(x^2=2m-1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{2m-1}\\ x=-\sqrt{2m-1}\end{array}\right.\)

(2): \(x^2 - 4x + 2m + 1 = 0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m+1\right)=16-8m-4=-8m+12\)

Để (2) có nghiệm thì -8m+12>=0

=>-8m>=-12

=>m<=3/2

Đặt x<m

=>\(\sqrt{2m-1}

=>\(2m-1

=>\(m^2-2m+1>0\)

=>\(\left(m-1\right)^2>0\)

=>m-1<>0

=>m<>1

Khi m=1 thì \(x=\sqrt{2m-1}=1\)

=>LOại

=>(3) chỉ có một nghiệm hợp lệ là \(x=-\sqrt{2m-1}=-1\)

Thay m=1 vào (2), ta được:

\(x^2-4x+2\cdot1+1=0\)

=>\(x^2-4x+3=0\)

=>(x-1)(x-3)=0

=>x=1 hoặc x=3

mà x>=1

nên cả hai nghiệm x=1 và x=3 đều được chấp nhận

=>m=1 thỏa mãn

Vậy: m=1;m=1/2

Sai đề.

Tại a=3 thay vào pt ban đầu \(\Rightarrow\left(x^2+3x+1\right)^2+3\left(x^2+3x+1\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+3x+1=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}\\x^2+3x+1=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+3x+\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}=0\left(1\right)\\x^2+3x+\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Bấm máy thấy pt (1) có hai nghiệm, pt (2) vô nghiệm => Tại a=3 thì pt ban đầu có 2 nghiệm (Trái với điều phải cm)