a) (*) m = 0 => x = \(\dfrac{7}{8}\) (loại)

(*) \(m\ne0\) Phương trình có nghiệm

\(\Delta=\left[2\left(m-4\right)\right]^2-4m\left(m+7\right)=-60m+64\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{16}{15}\) 

Hệ thức Viet kết hợp 4x₁ + 3x₂ = 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=\dfrac{m+7}{m}\\x_1+x_2=\dfrac{8-2m}{m}\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=\dfrac{m+7}{m}\\x_1=\dfrac{16-4m}{3m}\\x_2=\dfrac{8-2m}{3m}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{16-4m}{3m}.\dfrac{8-2m}{3m}=\dfrac{m+7}{m}\)

\(\Leftrightarrow2\left(8-2m\right)^2=9m\left(m+7\right)\)

\(\Leftrightarrow8m^2-64m+128=9m^2+63m\)

\(\Leftrightarrow m^2+127m-128=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=128\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)<=> m = 1

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)

=9-4m+12

=-4m+21

Để phương trình có hai nghiệm thì -4m+21>=0

=>-4m>=-21

=>\(m\le\frac{21}{4}\)
Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=m-3\end{cases}\)

\(x_1^2+3x_2=x_1^2\cdot x_2^2-11\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(x_1x_2\right)^2-11\)

=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=\left(x_1x_2\right)^2-11\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2-\left(x_1x_2\right)^2=-11\)

=>\(3^2-\left(m-3\right)-\left(m-3\right)^2=-11\)

=>\(9-m+3-m^2+6m-9=-11\)

=>\(-m^2+5m+3+11=0\)

=>\(-m^2+5m+14=0\)

=>\(m^2-5m-14=0\)

=>(m-7)(m+2)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}m=7\left(loại\right)\\ m=-2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

=>(x1-1)[x2^2-x2(x1+x2-1)+x1x2+1]=-3

=>(x1-1)[-x1x2+x2+x1x2+1]=-3

=>(x1-1)(x2+1)=-3

=>x1x2+(x1-x2)-1=-3

=>(x1-x2)=-3+1-x1x2=-2-m+5=-m+3

=>(x1+x2)^2-4x1x2=m^2-6m+9

=>4^2-4(m-5)=m^2-6m+9

=>4m-20=16-m^2+6m-9=-m^2+6m+7

=>4m-20+m^2-6m-7=0

=>m^2-2m-27=0

=>\(m=1\pm2\sqrt{7}\)

b: x1=3x2 và x1+x2=2m-2

=>3x2+x2=2m-2 và x1=3x2

=>x2=0,5m-0,5 và x1=1,5m-1,5

x1*x2=-2m

=>-2m=(0,5m-0,5)(1,5m-1,5)

=>-2m=0,75(m^2-2m+1)

=>0,75m^2-1,5m+0,75+2m=0

=>\(m\in\varnothing\)

c: x1/x2=3

x1+x2=2m-2

=>x1=3x2 và x1+x2=2m-2

Cái này tương tự câu b nên kết quả vẫn là ko có m thỏa mãn

\(\text{Δ}=\left(-3\right)^2-4\left(m-1\right)=-4m+4+9=-4m+13\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m+13>0

hay m<13/4

Áp dụng Vi-et, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\2x_1-3x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: m-1=2

hay m=3(nhận)

plz god help me ;-;

\(x^2-2\left(m+1\right)x+4m=0\)

\(\text{∆}=4\left(m+1\right)^2-16m=4\left(m-1\right)^2\)

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2\left(m+1\right)+2\left(m-1\right)}{2}=2m\\x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)-2\left(m-1\right)}{2}=2\end{matrix}\right.\)

Ta có:

 \(x_1=-3x_2\)

\(\Rightarrow2m=-6\Rightarrow m=-3\left(TM\right)\)

Vậy ...

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì:

$\Delta'=(m-1)^2+2m-5\geq 0$

$\Leftrightarrow m^2-4\geq 0$

$\Leftrightarrow m\geq 2$ hoặc $m\leq -2$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(1-m)\\ x_1x_2=-2m+5\end{matrix}\right.\)

\(2x_1+3x_2=-5\)

\(\Leftrightarrow 2(x_1+x_2)+x_2=-5\Leftrightarrow 4(1-m)+x_2=-5\)

\(\Leftrightarrow x_2=4m-9\)

\(x_1=2(1-m)-x_2=11-6m\)

$x_1x_2=-2m+5$

$\Leftrightarrow (4m-9)(11-6m)=-2m+5$

Giải pt này suy ra $m=2$ hoặc $m=\frac{13}{6}$ (đều thỏa mãn)

Bài 4:

a: \(\Delta=\left(m-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m+1\right)\)
\(=m^2-6m+9+4m-4=m^2-2m+5\)

\(=m^2-2m+1+4=\left(m-1\right)^2+4\ge4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m+3;x_1x_2=\frac{c}{a}=-m+1\)

\(P=x_1x_2-x_1^2-x_2^2\)

\(=x_1x_2-\left(x_1^2+x_2^2\right)\)

\(=x_1x_2-\left\lbrack\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right\rbrack=3x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)^2\)

\(=3\left(-m+1\right)-\left(-m+3\right)^2\)

\(=-3m+3-m^2+6m-9=-m^2+3m-6\)

\(=-\left(m^2-3m+6\right)\)

\(=-\left(m^2-3m+\frac94+\frac{15}{4}\right)=-\left(m-\frac32\right)^2-\frac{15}{4}\le-\frac{15}{4}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m-3/2=0

=>m=3/2

c: \(\left(x_1-3x_2\right)\cdot x_1+x_2^2\)

\(=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)

\(=\left(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\right)-5x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(=\left(-m+3\right)^2-5\left(-m+1\right)\)

\(=m^2-6m+9+5m-5=m^2-m+4=m^2-m+\frac14+\frac{15}{4}\)

\(=\left(m-\frac12\right)_{}^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}\forall m\)

=>\(T\le15:\frac{15}{4}=4\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi \(m-\frac12=0\)

=>m=1/2

Bài 3:

a: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(2m+1\right)\right\rbrack^2-4\left(3m^2-4\right)\)
\(=4\left(4m^2+4m+1\right)-4\left(3m^2-4\right)=4\left(4m^2+4m+1-3m^2+4\right)\)

\(=4\left(m^2+4m+5\right)=4\left(m+2\right)^2+4\ge4\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: \(P=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\)

\(=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(4m+2\right)^2-4\left(3m^2-4\right)=16m^2+16m+4-12m^2+16=4m^2+16m+16+4\)

\(=\left(2m+4\right)^2+4\ge4\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m+2=0

=>m=-2

Câu a ) 

\(2x^4+3x^2-2=0\left(1\right)\)

Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\) phương trình (1) trở thành:

\(2t^2+3t-2=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(2t-1\right)+4t-2=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(2t-1\right)+2\left(2t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t-1\right)\left(t+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2t-1=0\\t+2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{1}{2}\\1=-2\left(loại\right)\end{cases}}\)

Với \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là  \(S=\left\{\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}\)

Câu b ) 

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4m=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)

\(\Delta>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne1\)

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=m\end{cases}}\)

\(x_1=3x_2\Rightarrow3x_2+x_2=m+1\Leftrightarrow4x_2=m+1\)

\(\Leftrightarrow x_2=\frac{m+1}{4}\Rightarrow x_1=\frac{3\left(m+1\right)}{4}\)

\(x_1x_2=m\Leftrightarrow\frac{3\left(m+1\right)^2}{16}=m\)

\(\Leftrightarrow3m^2+6m+3=16m\)

\(\Leftrightarrow3m^2-10m+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-1\right)\left(m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{1}{3}\\m=3\end{cases}\left(tm\right)}\)