1: Xét ΔOPQ có 

I là trung điểm của PQ

IN//OP

Do đó: N là trung điểm của OQ

Xét ΔOPQ có 

I là trung điểm của PQ

IM//OQ

Do đó: M là trung điểm của OP

Xét ΔMPI và ΔNQI có 

MP=NQ

\(\widehat{P}=\widehat{Q}\)

PI=QI

Do đó: ΔMPI=ΔNQI

Suy ra: IM=IN

hay ΔIMN cân tại I

2: Ta có: OM=ON

nên O nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: IM=IN

nên I nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra OI là đường trung trực của MN

a: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM⊥BC tại M và AM là phân giác của góc BAC

Ta có: \(\hat{AMB}=90^0\)

=>M nằm trên đường tròn tâm O, đường kính AB

b: ΔOMB cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc BOM

Xét ΔOBI và ΔOMI có

OB=OM

\(\hat{BOI}=\hat{MOI}\)

OI chung

Do đó: ΔOBI=ΔOMI

=>\(\hat{OBI}=\hat{OMI}\)

=>\(\hat{OMI}=90^0\)

=>IM là tiếp tuyến tại M của (O)

c: ΔAMB vuông tại M

=>\(MA^2+MB^2=AB^2\)

=>\(MB^2=20^2-12^2=400-144=256=16^2\)

=>MB=16(cm)

Xét ΔBAM có O,H lần lượt là trung điểm của BA,BM

=>OH là đường trung bình của ΔBAM

=>OH//AM và OH=1/2AM=1/2*12=6(cm)

Xét ΔOBI vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OB^2=OH\cdot OI\)

=>OI=OB^2/OH=10^2/6=100/6=50/3(cm)

ΔOBI vuông tại B

=>\(OB^2+BI^2=OI^2\)

=>\(BI^2=\left(\frac{50}{3}\right)^2-10^2=\frac{2500}{9}-100=\frac{1600}{9}=\left(\frac{40}{3}\right)^2\)

=>BI=40/3(cm)

Hehj

a: Xét ΔABC có

H,O lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>HO là đường trung bình của ΔABC

=>HO//AB và \(HO=\dfrac{AB}{2}\)

b: Ta có: HO//AB

O\(\in\)HD

Do đó: HD//AB

Ta có: HO=AB/2

HO=HD/2

Do đó: AB=HD

Xét tứ giác ABHD có

HD//AB

HD=AB

Do đó: ABHD là hình bình hành

=>AH cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của AH

nên I là trung điểm của BD

=>B,I,D thẳng hàng

a: Xét tứ giác ADCE có

O là trung điểm chung của AC và DE

góc ADC=90 độ

Do đó: ADCE là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AEDB có

AE//DB

AE=DB

Do đó: AEDB là hình bình hành

c:BD=CD=BC/2=6cm

AO=OD=10/2=5cm

AD=8cm

P=(5+5+8)/2=18/2=9cm

\(S=\sqrt{9\cdot\left(9-8\right)\left(9-5\right)\left(9-5\right)}=\sqrt{9\cdot1\cdot4\cdot4}=3\cdot2\cdot2=12\left(cm^2\right)\)

a: Xét tứ giác ADCE có

O là trung điểm chung của AC và DE

góc ADC=90 độ

Do đó: ADCE là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AEDB có

AE//DB

AE=DB

Do đó: AEDB là hình bình hành

c:BD=CD=BC/2=6cm

AO=OD=10/2=5cm

AD=8cm

P=(5+5+8)/2=18/2=9cm

\(S=\sqrt{9\cdot\left(9-8\right)\left(9-5\right)\left(9-5\right)}=\sqrt{9\cdot1\cdot4\cdot4}=3\cdot2\cdot2=12\left(cm^2\right)\)

a) Tứ giác ADCE có: O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD

nên tứ giác ADCE là hình bình hành

Có \(\widehat{ADC}=90^\circ\)

Vậy tứ giác ADCE là hình chữ nhật.

b) AECD là hình chữ nhật \(\Rightarrow AE=DC\), AE // DC

Tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao

\(\Rightarrow\) AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

\(\Rightarrow\) D là trung điểm của BC \(\Rightarrow BD=DC=\dfrac{1}{2}BC\)

Xét tứ giác AEDB có: \(AE=BD\), AE // BD

Vậy tứ giác AEBD là hình bình hành.

c) Tam giác ADC vuông tại D: \(AC^2=AD^2+DC^2\) (Định lí Pi-ta-go)

\(AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\) (cm)

\(S_{OAD}=\dfrac{1}{2}S_{ADC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot6=12\) (cm²).

d) Tam giác ADC có: O là trung điểm của AC, I là trung điểm của AD

nên OI là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow\) OI // BC.

Tam giác ABC có: OK // BC, O là trung điểm của AC

\(\Rightarrow\) K là trung điểm của AB.

Tam giác ABC: O là trung điểm của AC, K là trung điểm của AB

nên OK là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow OK=\dfrac{1}{2}BC\)

Xét tứ giác KOCD: OK = DC, OK // DC

nên tứ giác KOCD là hình bình hành

\(\Rightarrow\) KD = OC

\(\Rightarrow KD=\dfrac{1}{2}AC\)

\(AE=DC=\dfrac{1}{2}BC\)

Để AE = DK thì AC = BC

Tam giác ABC có AC = AB = BC nên tam giác ABC đều

Vậy tam giác ABC đều thì AE = DK.