a: Xét \(\left(O_1\right)\) có

ΔAPH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAPH vuông tại P

=>HP⊥AM tại P

Xét \(\left(O_2\right)\) có

ΔHQB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHQB vuông tại Q

=>HQ⊥MB tại Q

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)

nên MPHQ là hình chữ nhật

b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao

nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)

Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)

=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Xét ΔMPQ vuông tại M và ΔMBA vuông tại M có

\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Do đó: ΔMPQ~ΔMBA

c: ΔMPQ~ΔMBA

=>\(\hat{MPQ}=\hat{MBA};\hat{MQP}=\hat{MAB}\)

\(\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}=\hat{AHP}+\hat{HPQ}\)

\(=\hat{AHP}+\hat{HMB}=\hat{MBA}+\hat{HMB}=90^0\)

=>\(PO_1\) ⊥PQ

=>PQ là tiếp tuyến tại P của \(\left(O_1\right)\)

\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{O_2QH}\)

\(=\hat{PMH}+\hat{BHQ}=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)

=>\(QO_2\) ⊥QP tại Q

=>QP là tiếp tuyến tại Q của \(\left(O_2\right)\)

c ơi c làm dc chưa ạ? e cũng đang cần bài này ạ

a: Xét (O1) có

ΔAPH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAPH vuông tại P

=>HP⊥MA tại P

Xét (O2) có

ΔHQB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHQB vuông tại Q

=>HQ⊥MB tại Q

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)

nên MPHQ là hình chữ nhật

=>MH=PQ
b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao

nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)

Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)

=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Xét ΔMQP vuông tại M và ΔMAB vuông tại M có

\(\frac{MQ}{MA}=\frac{MP}{MB}\)

Do đó: ΔMQP~ΔMAB

c: MPHQ là hình chữ nhật

=>\(\hat{HPQ}=\hat{HMQ}=\hat{HMB}\)

\(\Delta O_1PH\) cân tại O1

=>\(\hat{O_1PH}=\hat{O_1HP}=\hat{PHA}\)

mà \(\hat{PHA}=\hat{MBA}\) (hai góc đồng vị, PH//MB)

nên \(\hat{O_1PH}=\hat{MBA}\)

MPHQ là hình chữ nhật

=>\(\hat{PQH}=\hat{PMH}=\hat{AMH}\)

\(\Delta O_2QH\) cân tại O2

=>\(\hat{O_2QH}=\hat{O_2HQ}=\hat{QHB}\)

mà \(\hat{QHB}=\hat{MAB}\) (hai góc đồng vị, QH//MA)

nên \(\hat{O_2QH}=\hat{MAB}\)

\(\hat{QPO_1}=\hat{QPH}+\hat{HPO_1}\)

\(=\hat{HMB}+\hat{HBM}=90^0\)

=>QP là tiếp tuyến của (O1)

\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{HQO_2}\)

\(=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)

=>PQ là tiếp tuyến của (O2)

Ta có: AC là tiếp tuyến của (O) (gt)

=) AC vuông góc OA 

=) Góc OAC = 90độ (1)

Lại có: DC là tiếp tuyến của (O) (gt)

=) DC vuông góc OD

=) Góc ODC = 90độ (2)

Từ (1) và (2) =) góc ODC + góc OAC = 180 độ

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau                           

=) Tứ giác OACD nội tiếp

a) Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: DM=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CM+DM=CD(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

và DM=DB(cmt)

nên CD=AC+BD(đpcm)

Xét (O) có 

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{BOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)(cmt)

và \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)(cmt)

nên \(2\cdot\widehat{COM}+2\cdot\widehat{DOM}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{COM}+\widehat{DOM}=90^0\)

hay \(\widehat{COD}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{COD}=90^0\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao ứng với cạnh huyền CD, ta được:

\(CM\cdot MD=OM^2\)

\(\Leftrightarrow CA\cdot BD=OM^2\)

mà OM=R

nên \(AC\cdot BD=R^2\)(đpcm)

c) Ta có: CA=CM(cmt)

nên C nằm trên đường trung trực của AM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OA=OM(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của AM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Ta có:  DM=DB(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OM=OB(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM

hay OC⊥AM

mà OC cắt AM tại E(gt)

nên OC⊥AM tại E

hay \(\widehat{OEM}=90^0\)

Từ (3) và (4) suy ra OD là đường trung trực của MB

hay OD⊥MB

mà OD cắt MB tại F(gt)

nên OD⊥MB tại F

hay \(\widehat{OFM}=90^0\)

Xét tứ giác EMFO có

\(\widehat{OFM}=90^0\)(cmt)

\(\widehat{OEM}=90^0\)(cmt)

\(\widehat{EOF}=90^0\)(cmt)

Do đó: EMFO là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒EF=MO(Hai đường chéo của hình chữ nhật EMFO)

mà MO=R(gt)

nên EF=R(đpcm)