a) Ta có: \(\angle OAC+\angle ODC=90+90=180\Rightarrow OACD\) nội tiếp

b) Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta CBD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CDE=\angle CBD\\\angle BCDchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CDE\sim\Delta CBD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CD}\Rightarrow CD^2=CB.CE\)

c) BC cắt DF tại G.BD cắt AC tại H

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\Rightarrow\Delta ADH\) vuông tại D

có \(CA=CD\) (CA,CD là tiếp tuyến) \(\Rightarrow\) C là trung điểm AH

Vì \(DF\parallel AH\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{GF}{AC}=\dfrac{BG}{BC}\\\dfrac{GD}{CH}=\dfrac{BG}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{GF}{AC}=\dfrac{GD}{CH}\)

mà \(CA=CH\Rightarrow GF=GD\Rightarrow\) đpcm

a, MPHQ là hình chữ nhật => MH = PQ

b, Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh được MP.MA = MQ.MB => ∆MPQ: ∆MBA

c, P M H ^ = M B H ^ => P Q H ^ = O 2 Q B ^ => PQ là tiếp tuyến của  O 2

Tương tự PQ cũng là tiếp tuyến ( O 1 )

a, Vì Mx lần lượt là tiếp tuyến (O) 

=> ^PMN = 90⁰

Ta có ^EPM = ^EMN ( cùng phụ ^PME ) 

Lại có cung ME = cung EN => ME = EN 

=> tam giác EMN vuông cân tại E vì ^MEN = 90⁰ ( góc nt chắn nửa đường tròn) 

=> ^MPE = ^MNP mà ^PMN = 90⁰

Vậy tam giác PMN vuông cân tại M 

b, Ta có ^EFN = ^EMN ( góc nt chắn cung EN ) 

mà ^QPE = ^EMN (cmt) 

=> ^NFE = ^QPE mà ^NFE là góc ngoài đỉnh F 

Vậy tứ giác EFQP là tứ giác nt 1 đường tròn 

a: Xét \(\left(O_1\right)\) có

ΔAPH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAPH vuông tại P

=>HP⊥AM tại P

Xét \(\left(O_2\right)\) có

ΔHQB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHQB vuông tại Q

=>HQ⊥MB tại Q

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)

nên MPHQ là hình chữ nhật

b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao

nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)

Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)

=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Xét ΔMPQ vuông tại M và ΔMBA vuông tại M có

\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Do đó: ΔMPQ~ΔMBA

c: ΔMPQ~ΔMBA

=>\(\hat{MPQ}=\hat{MBA};\hat{MQP}=\hat{MAB}\)

\(\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}=\hat{AHP}+\hat{HPQ}\)

\(=\hat{AHP}+\hat{HMB}=\hat{MBA}+\hat{HMB}=90^0\)

=>\(PO_1\) ⊥PQ

=>PQ là tiếp tuyến tại P của \(\left(O_1\right)\)

\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{O_2QH}\)

\(=\hat{PMH}+\hat{BHQ}=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)

=>\(QO_2\) ⊥QP tại Q

=>QP là tiếp tuyến tại Q của \(\left(O_2\right)\)

a: Xét tứ giác HAOM có

\(\widehat{HAO}+\widehat{HMO}=90^0+90^0=180^0\)

=>HAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

HA,HM là các tiếp tuyến

Do đó: HA=HM và OH là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

KM,KB là các tiếp tuyến

Do đó: KM=KB và OK là phân giác của góc MOB

Ta có: HM+MK=HK(M nằm giữa H và K)

mà HM=HA và KM=KB

nên HA+KB=HK

c: Ta có: HA=HM

=>H nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra HO là đường trung trực của AM

=>HO\(\perp\)AM

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)MB

Ta có: HO\(\perp\)AM

AM\(\perp\)MB

Do đó: HO//MB

=>\(\widehat{AOH}=\widehat{ABM}\)

Xét ΔAHO vuông tại A và ΔMAB vuông tại M có

\(\widehat{AOH}=\widehat{MBA}\)

Do đó: ΔAHO đồng dạng với ΔMAB

=>\(\dfrac{HO}{AB}=\dfrac{AO}{MB}\)

=>\(HO\cdot MB=AO\cdot AB=2R^2\)

a: góc EAB=1/2*90=45 độ

=>góc AEB=45 độ

b: góc EFD=góc FAB+góc FBA=90 độ+góc DAB

góc ECD+góc ACD=180 độ

=>góc ECD=góc DBA

=>góc EFD+góc ECD=180 độ

=>CDFE nội tiếp

1: Xét (M;MH) có

MH là bán kính

AB⊥MH tại H

Do đó: AB là tiếp tuyến tại H của (M)

2: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB tại M và \(\hat{AMB}=90^0\)

Xét (M) có

AC,AH là các tiếp tuyến

Do đó: AC=AH và MA là phân giác của góc CMH

MA là phân giác của góc CMH

=>\(\hat{CMH}=2\cdot\hat{AMH}\)

Xét (M) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và MB là phân giác của góc DMH

MB là phân giác của góc DMH

=>\(\hat{DMH}=2\cdot\hat{HMB}\)

Ta có: \(\hat{CMH}+\hat{DMH}=\hat{CMD}\)

=>\(\hat{CMD}=2\left(\hat{AMH}+\hat{BMH}\right)=2\cdot\hat{AMB}=2\cdot90^0=180^0\)

=>C,M,D thẳng hàng

=>M là trung điểm của CD

Xét hình thang CABD có

M,O lần lượt là trung điểm của CD,AB

=>MO là đường trung bình của hình thang CABD

=>MO//AC//BD

=>MO⊥CD tại M

Xét (O) có

OM là bán kính

CD⊥OM tại M

Do đó: CD là tiếp tuyến tại M của (O)

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AB'⊥A'B tại M

Xét ΔA'AB vuông tại A và ΔABB' vuông tại B có

\(\hat{BA^{\prime}A}=\hat{B^{\prime}AB}\left(=90^0-\hat{MBA}\right)\)

Do đó: ΔA'AB~ΔABB'

=>\(\frac{A^{\prime}A}{AB}=\frac{AB}{BB^{\prime}}\)

=>\(A^{\prime}A\cdot BB^{\prime}=AB^2\)

b: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM

=>ΔCAM cân tại C

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

=>ΔDMB cân tại D

Ta có: \(\hat{CMA}+\hat{CMA^{\prime}}=\hat{A^{\prime}MA}=90^0\)

\(\hat{CAM}+\hat{CA^{\prime}M}=90^0\) (ΔAMA' vuông tại M)

mà \(\hat{CMA}=\hat{CAM}\) (ΔCAM cân tại C)

nên \(\hat{CMA^{\prime}}=\hat{CA^{\prime}M}\)

=>CM=CA'

mà CM=CA
nên CA=CA'

Ta có: \(\hat{DMB}+\hat{DMB^{\prime}}=\hat{BMB^{\prime}}=90^0\)

\(\hat{DBM}+\hat{DB^{\prime}M}=90^0\) (ΔB'MB vuông tại M)

mà \(\hat{DMB}=\hat{DBM}\) (ΔDBM cân tại D)

nên \(\hat{DMB^{\prime}}=\hat{DB^{\prime}M}\)

=>DM=DB'

mà DM=DB

nên DB=DB'