Cho (O;R) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (M = A và B). Vẽ (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD đến (M).
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O).
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi . Từ đó tính giá trị lớn nhất của...
Đọc tiếp
Cho (O;R) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (M = A và B). Vẽ (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD đến (M).
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O).
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi . Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD
a: Xét (M;MH) có
AC,AH là các tiếp tuyến
Do đó: MA là phân giác của góc CMH
=>\(\hat{CMH}=2\cdot\hat{AMH}\)
Xét (M;MH) có
BH,BD là các tiếp tuyến
Do đó: MB là phân giác của góc HMD
=>\(\hat{HMD}=2\cdot\hat{HMB}\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>\(\hat{AMB}=90^0\)
=>\(\hat{AMH}+\hat{BMH}=90^0\)
=>\(2\left(\hat{AMH}+\hat{BMH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)
=>\(\hat{CMD}=180^0\)
=>C,M,D thẳng hàng
mà MC=MD
nên M là trung điểm của CD
Xét hình thang ACDB có
O,M lần lượt là trung điểm của CD,AB
=>OM là đường trung bình của hình thang ACDB
=>OM//AC//BD
=>OM⊥CD tại M
Xét (O) có
OM là bán kính
CD⊥OM tại M
Do đó: CD là tiếp tuyến tại M của (O)
b: AC+BD
=AH+HB
=AB không đổi
Xét ΔMAB vuông tại M có MH là đường cao
nên \(HA\cdot HB=MH^2\)
=>\(AC\cdot BD=MH^2\le MO^2\)
Dấu '=' xảy ra khi H trùng với O
=>MO⊥AB tại O
Xét ΔMAB có
MO là đường cao
MO là đường trung tuyến
Do đó: ΔMAB cân tại M
=>MA=MB
=>M là điểm chính giữa của cung AB