a: Gọi M là giao điểm của CO và BD

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBM vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BOM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBM

=>OC=OM

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOM vuông tại O có

DO chung

OC=OM

Do đó: ΔDOC=ΔDOM

=>\(\hat{CDO}=\hat{MDO}\)

Kẻ OH⊥CD tại H

XétΔDHO vuông tại H và ΔDBO vuông tại B có

DO chung

\(\hat{HDO}=\hat{BDO}\)

Do đó: ΔDHO=ΔDBO

=>OH=OB

=>H nằm trên (O;R)

Xét (O) có

OH là bán kính

CD⊥OH tại H

Do đó: CD là tiếp tuyến tại H của (O)

c: AB=2a

=>OH=2a/2=a

Xét (O) có

CA,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CH

Xét ΔOCD vuông tại O có OH là đường cao

nên \(HC\cdot HD=OH^2\)

=>\(AC\cdot BD=OH^2=a^2\)

1: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB

Ta có: \(\hat{BHI}+\hat{BCI}=90^0+90^0=180^0\)

=>BHCI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BI

=>B,H,C,I cùng thuộc đường tròn đường kính BI

Tâm là trung điểm của BI

a: Xét (OC/2) có

góc OMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=>góc OMC=90 độ

=>CM vuông góc MO

Xét (O') có

góc BPC nội tiếp

BC là đường kính

=>góc BPC=90 độ

=>BP vuông góc CM

=>BP//OM

góc MAI+góc MEI=180 độ

=>MAIE nội tiếp

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

b: CD=CM+MD

=CA+DB

c: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(CM\cdot MD=OM^2\)

=>\(CA\cdot BD=OM^2=R^2\)

d: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB

ΔOAM cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AM

OC⊥AM

AM⊥MB

Do đó: OC//MB

e: Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên NO=OC=OD

=>O nằm trên (N)

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC
=>ON//AC//BD

=>ON⊥AB

=>AB là tiếp tuyến tại O của (CD/2)

a: Ta có: \(\widehat{CHB}=90^0\)

=>ΔCHB vuông tại H

=>ΔCHB nội tiếp đường tròn đường kính CB(4)

Ta có: \(\widehat{CKB}=90^0\)

=>ΔCKB vuông tại K

=>ΔCKB nội tiếp đường tròn đường kính CB(5)

Từ (4) và (5) suy ra C,H,B,K cùng thuộc đường tròn đường kính CB

b:

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Ta có: \(\widehat{OCB}+\widehat{BCK}=\widehat{OCK}=90^0\)

\(\widehat{OCB}+\widehat{OCA}=\widehat{BCA}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{BCK}=\widehat{OCA}\)(1)

Ta có: CHBK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BCK}=\widehat{BHK}\left(2\right)\)

Xét ΔOAC có OC=OA

nên ΔOAC cân tại O

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{BHK}=\widehat{OAC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên HK//AC

vẽ hộ hình giúp mình với phần a) Cm 2 tam giác nội tiếp

Xét tứ giác CHBK có

\(\widehat{CHB}+\widehat{CKB}=90^0+90^0=180^0\)

=>CHBK là tứ giác nội tiếp

=>C,H,B,K cùng thuộc một đường tròn

a: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AB và OH là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

\(\hat{AOM}=\hat{BOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>\(\hat{OAM}=\hat{OBM}\)

=>\(\hat{OBM}=90^0\)

=>MB là tiếp tuyến tại B của (O)

b: H là trung điểm của AB

=>\(AH=HB=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔOHA vuông tại H

=>\(OH^2+HA^2=OA^2\)

=>\(OH^2=15^2-12^2=225-144=81=9^2\)

=>OH=9(cm)

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OM=\frac{15^2}{9}=25\left(\operatorname{cm}\right)\)