a) \(n^3-4n=n\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

vì n chẵn nên đặt n=2k

\(=>\left(2k-2\right).2k.\left(2k+2\right)=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)là 3 số tn liên tiếp =>chia hết cho 2

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16

\(n^3+4n=n^3-4n+8n\)

đặt n=2k

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)

mà \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16 nên \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)chia hết cho 16

Ta phân tích biểu thức đã cho ra nhân tử :

\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left[n^4-4n^3\right]-\left[4n^2-16n\right]=n^3(n-4)-4n(n-4)\)

\(=n(n-4)\left[n^2-4\right]=n(n-2)(n+2)(n-4)\)

Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 , trong đó k > 1 và biểu diễn theo k,ta có : \(A=(2k+2)(2k)(2k+4)(2k-2)\)

\(=16k(k-1)(k+1)(k+2)=16(k-1)(k)(k+1)(k+2)\)

Ta nhận thấy \((k-1)(k)(k+1)(k+2)\)là tích của bốn số nguyên dương liên tiếp,tích này chia hết cho 2.3.4 = 24

Vậy tích A đã cho chia hết cho 16.2.3.4 = 384 => đpcm

Mình làm gọn 1 xíu nhé

Ta có

\(x^4-4x^3-4x^2+16x=\left(x-4\right)\left(x-2\right)x\left(x+2\right)\)

Đây là tích của 4 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 2 số chia hết cho 2, 1số chia hết cho 4, 1 số chia hết cho 8. Nên tích này chia hết cho 2⁷.

Trong 3 số chẵn liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3

Vì 3 và 2⁷ là nguyên tố cùng nhau nên

Tích chia hết cho 3.2⁷ = 384

Ta có 384 = 3.128 và (3; 128) = 1 Lại có n chẵn và n > 4  n = 2k ( k  N, k > 2)  A = n⁴ – 4n³ – 4n + 16n = 16k⁴ – 32k³ – 16k² + 32k = 16k(k³ – 2k² – k + 2) = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1) Mà k, k – 2, k – 1, k + 1 là 4 số nguyên liên tiếp nên luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4.  k(k – 2)(k – 1)(k + 1)  8  A  16.8 hay A  128 Mặt khác ba trong 4 số nguyên liên tiếp k, k – 2, k – 1, k + 1 phải có một số chia hết cho 3 nên A  3 mà (3; 128) = 1 nên A  384. Vậy A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n 384 với mọi n chẵn và n > 4

bạn chứng minh tương tự như trên nhé tha số thôi 

Do n là số chẵn => n = 2.k (k > 1)

Ta có:

n⁴ - 4n³ - 4n² + 16n

= (2k)⁴ - 4.(2k)³ - 4.(2k)² + 16.2k

= 2⁴.k⁴ - 4.2³.k³ - 4.2².k² + 32k

= 16.k⁴ - 32k³ - 16k² + 32k

= 16k³.(k - 2) - 16k.(k - 2)

= (k - 2).(16k³ - 16k)

= (k - 2).16k.(k² - 1)

= 16.(k - 2)(k - 1).k.(k + 1)

Vì (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 3 và 8

Mà (3;8)=1 => (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 24

=> 16.(k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 384

=> n⁴ - 4n³ - 4n² + 16n chia hết cho 384 (đpcm)