\(f\left(x\right)=x+\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\Rightarrow f'\left(x\right)=1+\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}\left(x+1\right)^2}\)

\(f'\left(x\right)-1>0\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}\left(x+1\right)^2}>0\)

\(\Rightarrow0< x< 1\)

1.

ĐKXĐ: \(x=2\)

Xét \(x=2\), bất phương trình vô nghiệm

\(\Rightarrow\) bất phương trình đã cho vô nghiệm

\(\Rightarrow\) Không tồn tại \(a,b\) thỏa mãn

Đề bài lỗi chăng.

a/ \(\dfrac{2x-3}{x+5}\ge2\) ( ĐKXĐ : \(x\ne-5\) )

\(\Rightarrow2x-3\ge2\left(x+5\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-3\ge2x+10\)

\(\Leftrightarrow0x\ge13\) ( vô lí ) . Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

a: ĐKXĐ: x∉{2;-1}

\(\frac{x-2}{x+1}\ge\frac{x+1}{x-2}\)

=>\(\frac{x-2}{x+1}-\frac{x+1}{x-2}\ge0\)

=>\(\frac{\left(x-2\right)^2-\left(x+1\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\) >=0

=>\(\frac{x^2-4x+4-x^2-2x-1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\) >=0

=>\(\frac{-6x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\) >=0

=>\(\frac{2x-1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\) <=0

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{2x-1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\)

Đặt 2x-1=0

=>2x=1

=>x=1/2

Đặt x-2=0

=>x=2

Đặt x+1=0

=>x=-1

Bảng xét dấu:

f(x)<=0

=>x<-1; 1/2<=x<2

b: ĐKXĐ: x<>-4

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}{x+4}\)

Đặt x-1=0

=>x=1

Đặt 2x-5=0

=>2x=5

=>x=5/2

Đặt x+1=0

=>x=-1

Đặt x+4=0

=>x=-4

Bảng xét dấu:

f(x)<0

=>-4<x<-1; 1<x<5/2

TH1: m + 1 = 0 <=> m = -1 thay vào bpt ta có: 4 > 0 với mọi số thực x

=> m = - 1 thỏa mãn

TH2: m \(\ne\)-1

 bpt có tập nghiệm S = R

<=> \(\hept{\begin{cases}\Delta'\le0\\m+1>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)^2-4\left(m+1\right)\le0\\m>-1\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)\left(m-3\right)\le0\\m>-1\end{cases}}\Leftrightarrow-1< m\le3\)

Kết hợp 2 TH: ta có: \(-1\le m\le3\) thì bpt có tập nghiệm: S = R

Đặt ( m + 1 ).x² - 2. ( m-1 ) .x + 4 \(\ge\)0      ( 1 ) 

+) TH1 : m+ 1 = 0 <=> m =-1 .Bất phương trình ( 1 ) trở thành 4 \(\ge\)0 \(\forall x\inℝ\)( luôn đúng )    ( *) 

+) TH2 : m + 1 \(\ne\)0 <=> m \(\ne\)-1 .Bất phương trình ( 1 ) có tập nghiệm \(S=ℝ\)

<=> \(\hept{\begin{cases}a>0\\\Delta'\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m+1>0\\\Delta'=m^2-2m-3\le0\end{cases}\Leftrightarrow}-1< m\le3\left(^∗^∗\right)}\)

Từ ( *) và ( **) ta suy ra : \(-1\le m\le3\)