x+y+z=0

=>x+y=-z; x+z=-y; y+z=-x

\(x^2+y^2-z^2\)

\(=\left(x+y\right)^2-2xy-z^2\)

\(=\left(-z\right)^2-2xy-z^2=-2xy\)

\(x^2+z^2-y^2\)

\(=\left(x+z\right)^2-2xz-y^2\)

\(=\left(-y\right)^2-2xz-y^2=-2xz\)

\(y^2+z^2-x^2\)

\(=\left(y+z\right)^2-2yz-x^2\)

\(=\left(-x\right)^2-2yz-x^2=-2yz\)

\(\frac{xy}{x^2+y^2-z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2-y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2-x^2}\)

\(=\frac{xy}{-2xy}+\frac{xz}{-2xz}+\frac{yz}{-2yz}\)

\(=-\frac12-\frac12-\frac12=-\frac32\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

A=\(xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}-\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{3}{xyz}\right)=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\)

bạn tự chứng minh \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}-\dfrac{3}{xyz}=0\) nha

đặt \(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b;\dfrac{1}{z}=c\)

bài toán thành \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\) nha

lần sau bạn trình bày rõ hơn nhé

hơi khó hiểu

sao cho biết mà không có phần chứng minh

Chứng minh là tìm x, y ,z mà bạn :)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz Engel, ta được:

T\(\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)+x+y+z+\(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\)-(x+y+z+\(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\))

Áp dụng BĐT AM-GM , ta được:

T\(\ge\)2(x+y+z)-x-y-z-\(\frac{x+y+z}{2}\)=\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{2019}{2}\)

Vậy: GTNN của A=\(\frac{2019}{2}\)khi x=y=z=673

\(T>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)(bunhiacopxki dạng phân thức)

=>\(T>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}}\)

=>\(T>=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+yz\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2019}{2}\)

xảy ra dấu= khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{2019}{3}\)