áp dụng bất đẳng thức cô- si, ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)  \(\left(1\right)\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)  \(\left(2\right)\)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế, ta được:

\(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b=c\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có :

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)

\(\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\) (2)

\(\dfrac{c+a}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)

Cộng từng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được :

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Mở rộng cho bốn số a, b, c, d không âm, ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)

Mở rộng cho năm số a, b, c, d, e không âm, ta có bất đẳng thức : \(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)

áp dụng BĐT AM-GM với 2 số không âm

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)

cộng các vế của BĐT ta có

\(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

chia cả hai vế của BĐT cho 2 ta có đpcm

áp dụng bất đẳng thức cô si cho:

*a+b≥\(2\sqrt{ab}\)

*b+c≥\(2\sqrt{bc}\)

*c+a≥\(2\sqrt{ca}\)

➩2(a+b+c)≥2(\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\))

➩ĐPCM

Ta có:

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\Leftrightarrow2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt[]{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)

(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

14:

\(A=\sqrt{-4x^2+4x+7}\)

\(=\sqrt{-\left(4x^2-4x-7\right)}\)

\(=\sqrt{-\left(4x^2-4x+1-8\right)}\)

\(=\sqrt{-\left(2x-1\right)^2+8}< =\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi 2x-1=0

=>\(x=\dfrac{1}{2}\)

13:

\(a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)

=>\(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ac}>=0\)

=>\(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(a-2\sqrt{ac}+c\right)>=0\)

=>\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)(luôn đúng)

Ta có : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)

Bất đẳng thức 2 luôn đúng với \(\forall x\),vậy nên bất đẳng thức 1 cũng luôn đúng với mọi x .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a-b\right)^2=0\)

=> a-b=0 => a=b

Vậy BDT \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) xảy ra khi a = b

áp dụng ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\)

\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\left(2\right)\)

\(\frac{a+c}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)

từ 1,2,3 cộng từng ba bất đẳng thức ta được : \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Mở rộng kết quả cho 4 số a,b,c,d không âm ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)

Mở rộng kết quả cho 5 số a,b,c,d,e không âm ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b\ge0\))

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b\ge0\)

\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\forall b,c\ge0\)

\(\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ac}\forall a,c\ge0\)

Do đó: \(\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)(đpcm)

-Mình thử trình bày cách làm của mình nhé, bạn xem thử có gì sai sót không hoặc chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi mình nhé.

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$\text{VT}=\sqrt{ab+c(a+b+c)}+\sqrt{bc+a(a+b+c)}+\sqrt{ca+b(a+b+c)}$

$=\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+a)(b+c)}$
$\leq \frac{c+a+c+b}{2}+\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}$

$=2(a+b+c)=2$
Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Đặt \(a=x^3,b=y^3,c=z^3\).Áp dụng bất đẳng thức Cô - si  với 2 số không âm , ta có 

\(\left(x^3+y^3\right)+\left(x^3+xyz\right)\ge2\sqrt{x^3y^3}+2\sqrt{xyz^4}=2\sqrt{xy}\left(xy+z^2\right)\)(1)

\(xy+z^2\ge2\sqrt{xyz^2}=2z\sqrt{xy}\)(2)

Từ (1)(2) \(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+xyz\ge2\sqrt{xy}.2z\sqrt{xy}=4xyz\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

Vậy \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\xy=z^2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c}\)

P/s tham khảo nha