Cho a+b+c=abc; a,b,c>0. CMR: \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{9}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
29 tháng 8
a)
Vì $abc\ne0$ nên từ $a+b+c=\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c$
suy ra $abc(a+b+c)=ab+bc+ca$.
Xét hiệu hai vế cần chứng minh:
$b(a^2-bc)(1-ac)-a(1-bc)(b^2-ac)$
$=-(a-b)\left[abc(a+b+c)-(ab+bc+ca)\right]$
$=-(a-b)\cdot0$
$=0$
Suy ra $\boxed{b(a^2-bc)(1-ac)=a(1-bc)(b^2-ac)}$
b)Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ca)=0$
$\Rightarrow ab+bc+ca=0$
Ta có $\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}
=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^3b^3c^3}$
Mà $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-3a^2b^2c^2$
$=(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c))$
$=0$
Do đó $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2$
Suy ra $\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}$
$=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^3b^3c^3}$
$=\boxed{\dfrac3{abc}}$
DP
0
9 tháng 3 2018
\(A+B+C=a^2bc+ab^2c+abc^2\)
\(A+B+C=abc\left(a+b+c\right)=abc.1=abc\)
Vậy: \(A+B+C=abc\left(đpcm\right)\)
1 tháng 3 2022
Với các số dương x;y ta có:
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng:
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{a}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)
CV
1
5 tháng 4 2020
\(a+b+c\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3.\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)