a) Dex dàng chứng minh \(\Delta BID\infty BHA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{ID}{AH}=\frac{BD}{AB}\)

mà AD là phân giác góc BAC =>\(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}=\frac{BD+CD}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}\)

=>\(\frac{DI}{AH}=\frac{BC}{AB+AC}\left(ĐPCM\right)\)

b) cái ý này t chỉ bt dùng cách lớp 9 thôi, nhưng nếu bạn muốn xem lg kiểu lớp 9 thì xem bài 46 nâng cao phát triến toán 9 tập 1 

( mà đề bài sai hay sao ý, phải là =(AB/BD)^2 chứ  nhỉ !!

c)t nghĩ áp dụng câu b 

^_^

a: Xét ΔMAD và ΔMCB có

MA=MC

\(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MD=MB

Do đó: ΔMAD=ΔMCB

=>AD=BC

b: Xét ΔMAB và ΔMCD có

MA=MC

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MD

Do đó: ΔMAB=ΔMCD

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MCD}=90^0\)

=>CD\(\perp\)CA

c: Xét tứ giác ABNC có

AB//NC

AC//BN

Do đó: ABNC là hình bình hành

=>AB=CN

Xét ΔABM vuông tại A và ΔCNM vuông tại C có

AB=CN

AM=CM

Do đó: ΔABM=ΔCNM

a: Xét ΔMAB và ΔMCD có

MA=MC

\(\hat{AMB}=\hat{CMD}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MD

Do đó;ΔMAB=ΔMCD
b: Xét ΔMAD và ΔMCB có

MA=MC

\(\hat{AMD}=\hat{CMB}\) (hai góc đối đỉnh)

MD=MB

Do đó: ΔMAD=ΔMCB

=>\(\hat{MAD}=\hat{MCB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//CB

c:

ΔMCD=ΔMAB

=>\(\hat{MCD}=\hat{MAB}\)

=>\(\hat{MCD}=90^0\)

=>AC⊥DN tại C

Ta có: AC⊥DN

AC⊥BA

Do đó: BA//DN

Xét ΔNCB và ΔABC có

\(\hat{NCB}=\hat{ABC}\) (hai góc so le trong, CN//AB)

CB chung

\(\hat{NBC}=\hat{ACB}\) (hai góc so le trong, BN//AC)

Do đó: ΔNCB=ΔABC

=>NC=AB

Xét ΔNCM vuông tại C và ΔBAM vuông tại A có

NC=AB

CM=AM

Do đó: ΔNCM=ΔBAM

MC là phân giác của tam giác ABC

Xét ΔNAB và ΔMAC có

NA=MA

\(\hat{NAB}=\hat{MAC}\) (hai góc đối đỉnh)

AB=AC

Do đó: ΔNAB=ΔMAC

=>NB=MC và \(\hat{ABN}=\hat{ACM}\)

ΔABC cân tại A

mà AD là đường phân giác

nên AD là đường trung trực của BC

=>B đối xứng C qua AD(1)

Ta có: \(\hat{NAD}=\hat{NAB}+\hat{BAD}\)

\(\hat{MAD}=\hat{MAC}+\hat{CAD}\)

mà \(\hat{NAB}=\hat{MAC};\hat{BAD}=\hat{CAD}\)

nên \(\hat{NAD}=\hat{MAD}\)

Xét ΔNAD và ΔMAD có

NA=MA

\(\hat{NAD}=\hat{MAD}\)

AD chung

Do đó: ΔNAD=ΔMAD

=>DN=DM

mà AN=AM

nen DA là đường trung trực của MN

=>N đối xứng M qua AD(2)

Từ (1),(2) suy ra BN đối xứng CM qua AD

a: Xét ΔADB và ΔADM có

AB=AM

\(\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\)

AD chung

Do đó: ΔADB=ΔADM

b: Ta có: ΔADB=ΔADM

nên DB=DM

mà AB=AM

nên AD là đường trung trực của BM

c: Xét ΔBDN và ΔMDC có

\(\widehat{BDN}=\widehat{MDC}\)

DB=DM

\(\widehat{DBN}=\widehat{DMC}\)

Do đó: ΔBDN=ΔMDC

Suy ra: BN=MC

Ta có: AB+BN=AN

AM+MC=AC

mà AB=AM

và BN=MC

nên AN=AC

hay ΔANC cân tại A

a: Xét ΔMAD và ΔMBC có

MA=MB

\(\hat{AMD}=\hat{BMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MD=MC

Do đó; ΔMAD=ΔMBC

=>AD=BC

ΔMAD=ΔMBC

=>\(\hat{MAD}=\hat{MBC}\)

mà hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC

b: AK=2KM

=>AK=2/3AM

Xét ΔACD có

AM là đường trung tuyến

\(AK=\frac23AM\)

Do đó: K là trọng tâm cua ΔACD

Xét ΔACD có

K là trọng tâm

CK cắt AD tại N

Do đó: N là trung điểm cua AD

c: Xét ΔABD có

BN,DM là các đường trung tuyến

BN cắt DM tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABD

=>DM=3MI

=>DC=2*DM=2*3*MI=6MI