ta có 

m^3+11m

=m^3+12m-m

=12m+m^3-m

=12m+m(m^2-1)

=12m+m.(m+1).(m-1)

xét tích m(m+1)(m-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

mà tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6

=>m(m-1)(m1) chia hết cho 6 (1)

do 12 chia hết cho 6 => 12m chia hết cho 6(2)

từ (1) và (2) => m(m-1)(m+1)+12m chia hết cho 6

              <=> m^3+11m chia hết cho 6

vậy m^3+11m chia hết cho 6 (đpcm)

t

nhìn cái tên của m đã thấy ức chế r, thằng sỉ nhục tổ quốc!!!

xl mk thấy tên bn ghê wa

Cho số tự nhiên \(n>2\). Biết \(2^n-1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(2^n+1\) là hợp số.

Chứng minh:

Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\) nên \(n\) không thể là số chẵn.

Thật vậy, nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k\) (\(k>1\)).

Khi đó:

\(2^n-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\)

Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.

Vậy \(n\) là số lẻ.

Đặt \(n=2k+1\) (\(k\geq1\)).

Ta có:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1=2(2^{2k})+1\).

Cách phân tích phù hợp là:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1\), không có nhân tử chung đơn giản theo dạng trên. Tuy nhiên, vì \(n\) lẻ, ta có:

\(2^n+1\) không nhất thiết là hợp số.

Lưu ý: Đề bài này chưa đúng. Chẳng hạn \(n=3\), ta có \(2^3-1=7\) là số nguyên tố và \(2^3+1=9\) là hợp số. Trường hợp này đúng, nhưng với \(n=5\), \(2^5-1=31\) là số nguyên tố và \(2^5+1=33\) cũng hợp số. Cần kiểm tra thêm điều kiện của đề nếu muốn chứng minh tổng quát.

Cho hai số tự nhiên \(a,b\), trong đó \(a\) là số lẻ. Chứng minh hai số \(a\) và \(ab+2^{2013}\) nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh:

Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab+2^{2013}\).

Vì \(d\mid a\) nên \(d\mid ab\).

Mà \(d\mid ab+2^{2013}\), suy ra:

\(d\mid (ab+2^{2013})-ab\)

Hay \(d\mid 2^{2013}\).

Do đó \(d\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(2^{2013}\).

Vì \(a\) là số lẻ nên \(a\) không có ước chung nào với \(2^{2013}\) ngoài 1.

Suy ra \(d=1\).

Vậy \(a\) và \(ab+2^{2013}\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\square\)

**** m chia hết cho 3 => m^2 chia hết cho 3 ( m^2 = m.m ) 
Tt: n^2 chia hết cho 3 

=> m^2 + n^2 chia hết cho 3 

**** định lí đảo 
m^2 + n^2 chia hết cho 3 

Xét: a chia 3 có 3 trườg hợp số dư: 0;1;2 => a^2 có 2 trườg hợp số dư là 0;1 < cm: đặt a = 3k + x với x là các trườg hợp số dư. sau đó tìm được số dư khi bình phương a > 


=> m^2 và n^2 cũng có các khả năng số dư đó khi chia cho 3 

Xét các trườg hợp: 

m^2 và n^2 chia 3 cùng dư 1 => m^2 + n^2 chia 3 dư 2 => loại 
m^2 và n^2 1 số chia 3 dư 0 và 1 số chia 3 dư 1 => m^2 + n^2 chia 3 dư 1 => loại 

=> m^2 và n^2 cùng chia hết cho 3 

hay m và n cùng chia hết cho 3

Bài 5.

Vì \(a\) chia hết cho \(c\) nên tồn tại số nguyên \(k\) sao cho \(a=kc\).

Vì \(b\) chia hết cho \(c\) nên tồn tại số nguyên \(h\) sao cho \(b=hc\).

Ta có:

\(ma+nb=m.kc+n.hc\)

\(=c(mk+nh)\)

Vì \(m,n\in\mathbb{N}\) và \(k,h\) là các số nguyên nên \(mk+nh\) là số nguyên.

Suy ra \(ma+nb\) chia hết cho \(c\).

Tương tự:

\(ma-nb=m.kc-n.hc\)

\(=c(mk-nh)\)

Vì \(mk-nh\) là số nguyên nên \(ma-nb\) chia hết cho \(c\).

Vậy \(ma+nb\) và \(ma-nb\) đều chia hết cho \(c\).

Bài 6.

a) Chứng minh tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là \(n,\ n+1,\ n+2\) (với \(n\in\mathbb{N}\)).

Tổng của ba số đó là:

\(n+(n+1)+(n+2)\)

\(=3n+3\)

\(=3(n+1)\)

Vì \(n+1\) là số tự nhiên nên \(3(n+1)\) chia hết cho 3.

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

b) Chứng minh tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5.

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là \(n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4\) (với \(n\in\mathbb{N}\)).

Tổng của 5 số đó là:

\(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)\)

\(=5n+10\)

\(=5(n+2)\)

Vì \(n+2\) là số tự nhiên nên \(5(n+2)\) chia hết cho 5.

Vậy tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5.

bài này cũng không biết làm

không biết làm nói luôn đi

Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

1) Chứng minh \(ab\) chia hết cho \(6\)

Vì $a$ chia cho $6$ dư $2$ nên $a=6k+2$ (k thuộc Z).

Vì $b$ chia cho $6$ dư $3$ nên $b=6m+3$ (k thuộc Z).

Ta có:

$ab=(6k+2)(6m+3)$

$=36km+18k+12m+6$

$=6(6km+3k+2m+1)$

Vậy $ab$ chia hết cho $6$.

Vì \(m,\ m+n,\ m+2n\) đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều không chia hết cho 3.

Ta xét số dư khi chia \(m\) và \(n\) cho 3.

Vì \(m\) không chia hết cho 3 nên:

- Nếu \(m\) chia 3 dư 1 thì \(m+n\) và \(m+2n\) đều không chia hết cho 3.

- Nếu \(m\) chia 3 dư 2 thì \(m+n\) và \(m+2n\) đều không chia hết cho 3.

Xét cụ thể:

Nếu \(n\) không chia hết cho 3 thì \(n\) chia 3 dư 1 hoặc dư 2.

- Nếu \(n\) dư 1, trong ba số \(m,\ m+n,\ m+2n\) sẽ có một số chia hết cho 3.

- Nếu \(n\) dư 2, trong ba số đó cũng sẽ có một số chia hết cho 3.

Điều này trái với giả thiết cả ba số đều là số nguyên tố lớn hơn 3.

Vậy \(n\) chia hết cho 3.

Mặt khác, vì \(m\) và \(m+n\) đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.

Hiệu hai số lẻ là số chẵn:

\((m+n)-m=n\).

Suy ra \(n\) chia hết cho 2.

Vì \(n\) chia hết cho 2 và 3, mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên:

\(n\) chia hết cho \(2\cdot3=6\).

Vậy \(n\) chia hết cho 6 (điều phải chứng minh).