Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD (1)

Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

Suy ra: △ ADC =  △ BCD (c.c.c)

Suy ra :  ∠ (ACD) = ∠ ( BDC)

Hay  ∠ (OCD) =  ∠ ( ODC)

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: OD = OC (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Ta có: 

Mà OA = OB ⇒ OM = ON

Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO

Trong ΔOCD, ta có: 

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét)

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong ΔOCD, ta có: MN // CD

Suy ra:  Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

Suy ra: MN = 1/4 CD = 1/4 .5,6 = 1,4 (cm)

Ta có: MB = MD (gt)

Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM

Lại có: AB // CD (gt) suy ra: MN // AB

Ta có: MN // AB, áp dụng hệ quả định lý Ta – let ta được:

 (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

Vậy: AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8(cm)

Ta có: 

Vậy 

a: Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD,BC

Xét hình thang ABCD có

I,K lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>IK là đường trung bình của hình thang ABCD

=>IK//AB//CD và \(IK=\frac{AB+CD}{2}\)

Xét ΔDAB có

I,M lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>IM là đường trung bình của ΔDAB

=>IM//AB và \(IM=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có

N,K lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>NK là đường trung bình của ΔCAB

=>NK//AB và \(NK=\frac{AB}{2}\)

IM//AB

IK//AB

mà IM,IK có điểm chung là I

nên I,M,K thẳng hàng(1)

Ta có: NK//AB

NI//AB

mà NK,NI có điểm chung là N

nên N,K,I thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra I,M,N,K thẳng hàng

=>MN//DC

MD+MO=OD

=>OD=3MO+OM=4MO

Xét ΔODC có MN//DC

nên \(\frac{OM}{OD}=\frac{MN}{CD}\)

=>\(\frac{MN}{12}=\frac14=\frac{3}{12}\)

=>MN=3(cm)

IM+MN+NK=IK

=>\(IM+3+NK=\frac{AB+CD}{2}\)

=>\(\frac{AB}{2}+\frac{AB}{2}+3=\frac{AB+CD}{2}=\frac{AB+12}{2}\)

=>2AB+6=AB+12

=>AB=6(cm)

b: IM+MN+NK=IK

=>\(\frac{AB}{2}+MN+\frac{BA}{2}=\frac{AB+CD}{2}\)

=>\(MN=\frac{AB+CD}{2}-\frac{2AB}{2}=\frac{CD-AB}{2}\)

Xét ΔQDC có AB//DC

nên QA/AD=QB/BC

mà AD=BC

nên QA=QB

QA+AD=QD

QB+BC=QC

mà QA=QB và AD=BC

nên QD=QC

Xét ΔABD và ΔBAC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

=>ΔABD=ΔBAC

=>góc DBA=góc BAC

=>góc PAB=góc PBA

=>PA=PB

PA+PC=AC

PB+PD=BD

mà PA=PB và AC=BD

nên PC=PD

PA=PB

QA=QB

=>PQ là trung trực của AB

PD=PC

QD=QC

=>PQ là trung trực của DC