a: Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔDAC có

G,E lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>GE là đường trung bình của ΔDAC
=>GE//AC và \(GE=\frac{AC}{2}\)

MN//AC

GE//AC

Do đó: MN//GE

\(MN=\frac{AC}{2}\)

\(GE=\frac{AC}{2}\)

Do đó: MN=GE

Xét ΔABD có

M,G lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MG là đường trung bình của ΔABD

=>MG//BD và \(MG=\frac{BD}{2}\)

\(MG=\frac{BD}{2}\)

\(MN=\frac{AC}{2}\)

mà BD=AC

nên MG=MN

Xét tứ giác MNEG có

MN//EG

MN=EG

Do đó: MNEG là hình bình hành

Hình bình hành MNEG có MN=MG

nên MNEG là hình thoi

b: Xét ΔBMN và ΔBAC có

\(\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}\left(=\frac12\right)\)

góc MBN chung

Do đó: ΔBMN~ΔBAC

=>\(\frac{S_{BMN}}{S_{BAC}}=\left(\frac{BM}{BA}\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{BMN}=\frac14\cdot S_{BAC}\)

Xét ΔAMG và ΔABD có

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AD}\left(=\frac12\right)\)

góc BAD chung

Do đó: ΔAMG~ΔABD

=>\(\frac{S_{AMG}}{S_{ABD}}=\left(\frac{AM}{AB}\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{AMG}=\frac14\cdot S_{ABD}\)

Xét ΔDGE và ΔDACcó

\(\frac{DG}{DA}=\frac{DE}{DC}\left(=\frac12\right)\)

góc GDE chung

Do đó: ΔDGE~ΔDAC

=>\(\frac{S_{DGE}}{S_{DAC}}=\left(\frac{DG}{DA}\right)^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{DGE}=\frac14\cdot S_{DAC}\)

Xét ΔCEN và ΔCDB có

\(\frac{CE}{CD}=\frac{CN}{CB}\left(=\frac12\right)\)

góc ECN chung

Do đó: ΔCEN~ΔCDB

=>\(\frac{S_{CEN}}{S_{CDB}}=\left(\frac{CE}{CD}\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{CEN}=\frac14\cdot S_{CDB}\)

Ta có: \(S_{BMN}+S_{AMG}+S_{DGE}+S_{CEN}+S_{MNEG}=S_{ABCD}\)

=>\(S_{MNEG}+\frac14\left(S_{BAC}+S_{DAC}\right)+\frac14\left(S_{ABD}+S_{CBD}\right)=S_{ABCD}\)

=>\(S_{MNEG}=\frac12\cdot S_{ABCD}\)

Kẻ AH⊥CD tại H và BK⊥CD tại K

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>AH=BK và DH=CK

Xét tứ giác ABKH có

AB//KH

AH//BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH

=>KH=6(cm)

DH+HK+KC=DC

=>DH+KC=DC-HK=12-6=6(cm)

=>DH=KC=6/2=3(cm)

ΔAHD vuông tại H

=>\(AH^2+HD^2=AD^2\)

=>\(AH^2=5^2-3^2=16=4^2\)

=>AH=4(cm)

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\frac12\cdot4\cdot\left(6+12\right)=2\cdot18=36\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=>\(S_{MNEG}=\frac12\cdot36=18\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Gọi E là trung điểm AD

→ AE = ED = \(\frac{1}{2}\) AD

Mà BC = \(\frac{1}{2}\)AD (gt)

⇒ AE = BC (= \(\frac{1}{2}\) AD)

Có: ABCD là hình thang(gt)

⇒ AD // BC (đn)

hay AE // BC (E ∈ AD- cv)

Xét tứ giác AECB có:

AE // CB (cmt)

AE = CB (cmt)

⇒ AECB là hình bình hành (DHNB)

Xét hình bình hành ABCE có:

ˆA = ˆB = 90o

AB = BC

⇒ ABCE là hình vuông

⇒ CE ⊥ AE tại E (đn)

hay CE ⊥ AD tại E

Xét ΔACD có:

CE là đường trung tuyến  (cv)

CE là đường cao (CE ⊥ AD tại E - cmt)

⇒ ΔACD cân tại C (t/c)

mà ˆACE = 45o

⇒ ˆACD = 90o

⇒ ΔACD vuông cân tại C (đn)

Gọi I là giao điểm của AC và MN

Xét ΔAIM và ΔNIC có:

ˆAIM= ˆNIC (2 góc đối đỉnh)

ˆIMA = ˆICN

⇒ ΔAIM ᔕ ΔNIC (g.g)

⇒ AINI= IMICI (cặp cạnh t/u)

⇒ AIIM = NIIC

Xét ΔAIN và ΔMIC có:

AIIM = NIIC

ˆAIN = ˆMIC(2 góc đối đỉnh)

⇒ ΔAIN ᔕ ΔMIC (c.g.c)

⇒ ˆANI = ˆICM = ˆACB = 45o  (Vì ΔABC vuông cân tại B)

→ ˆANM= 45o

Lại có: ˆAMN = 90o (AM ⊥ MN tại M)

⇒ ΔAMN vuông cân tại M (đpcm)

k cho mình nha

^ kí hiệu góc

o Độ

bấm vào đúng 0 sẽ ra kết quả, mình làm bài này rồi dễ lắm bạn ạ