(Thử sức với phương pháp \(p,q,r\) xem nào!)

Đặt \(p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz\).

Khi đó \(p^2-2q=1\) nên \(q=\frac{p^2-1}{2}\).

Biểu thức cần tìm max là \(S=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

Viết lại dưới dạng \(S=p\left(1-q\right)=p-\frac{p\left(p^2-1\right)}{2}=-\frac{p^3}{2}+\frac{3p}{2}\)

-----

Nếu có thêm giả thiết \(x,y,z\) không âm thì:

\(2S=-\left(p^3-3p\right)=-\left(p-1\right)^2\left(p+2\right)+2\le2\) và đẳng thức xảy ra tại \(p=1\).

Nếu ko có giả thiết \(x,y,z\) không âm thì xin thưa là đề sai.

Em nghĩ là có kể cả khi không giả thiết x,y,z không âm

Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\)

\(P=3a^2+b^2+3c^2\)

Biểu thức này chỉ có min, không có max

Dạ vâng ạ, e cảm ơn thầy

Vì $x+y+z=3$ nên $y+z=3-x,\quad x+z=3-y,\quad x+y=3-z.$

Do đó $P=\dfrac1{x^2+3-x}+\dfrac1{y^2+3-y}+\dfrac1{z^2+3-z}.$

Với $0<x<3$, ta có $\dfrac1{x^2+3-x}\le\dfrac{4-x}{9}$ vì $\dfrac{4-x}{9}-\dfrac1{x^2+3-x}$

$=\dfrac{(4-x)(x^2-x+3)-9}{9(x^2-x+3)}$

$=\dfrac{-(x-3)(x-1)^2}{9(x^2-x+3)}\ge0.$

Tương tự, $\dfrac1{y^2+3-y}\le\dfrac{4-y}{9}$

$\dfrac1{z^2+3-z}\le\dfrac{4-z}{9}.$

Suy ra $P\le\dfrac{4-x}{9}+\dfrac{4-y}{9}+\dfrac{4-z}{9}$$=\dfrac{12-(x+y+z)}9$$=\dfrac{12-3}{9}$$=1.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1.$

Khi đó $P=\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1.$

Vậy $P_{\max}=1.$

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\frac{x}{x^3+y^2+z}=\frac{x\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}{\left(x^3+y^2+z\right)\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}\le\frac{1+x+xz}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1+x+xz}{9}\)

Tương tự rồi cộng lại ta được:

\(T\le\frac{3+x+y+z+xy+yz+zx}{9}=\frac{6+xy+yz+zx}{9}\le\frac{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{9}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)

x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]

2 cái bằng nhau

Chứng minh hộ tui phát