Bài 2:

a: Ta có: \(\hat{HBC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔBEC vuông tại E)

\(\hat{CAD}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔADC vuông tại D)

Do đó: \(\hat{HBC}=\hat{CAD}\)

Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có

\(\hat{DBH}=\hat{DAC}\)

Do đó: ΔDBH~ΔDAC

=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DH}{DC}\)

=>\(DB\cdot DC=DH\cdot DA\)

b: Xét ΔEAH vuông tại E và ΔEBC vuông tại E có

\(\hat{EAH}=\hat{EBC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔEAH~ΔEBC

=>\(\frac{EA}{EB}=\frac{EH}{EC}\)

=>\(EA\cdot EC=EH\cdot EB\)

c: Xét ΔFAH vuông tại F và ΔFCB vuông tại F có

\(\hat{FAH}=\hat{FCB}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔFAH~ΔFCB

=>\(\frac{FA}{FC}=\frac{FH}{FB}\)

=>\(FA\cdot FB=FH\cdot FC\)

Bài 1:

a: Xét ΔADE và ΔACB có

\(\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

\(\hat{DAE}=\hat{CAB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔADE~ΔACB

=>\(k=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}\)

b:\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

a: Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\)

mà cạnh đối diện với góc ABC là cạnh AC

và cạnh đối diện với góc ACB là cạnh AB

nên AC>AB

b: Xét ΔABC có AC>AB

mà hình chiếu của AC trên BC là HC

và hình chiếu của AB trên BC là HB

nên HC>HB

c: Xét ΔKBC có HC>HB

mà HC là hình chiếu của KC trên BC

và HB là hình chiếu của KB trên BC

nên KC>KB

1. Xét tam giác AHC có : AHC = 90 độ 

=> AC > AH ( AC là cạnh huyền ) 

2. Xét tam giác AHB có : AHB = 90 độ 

=> AB > AH ( AB là cạnh huyền ) 

A B C D E H F

Tam giác ABC có : góc ABC > góc ACB (gt)

=> AC > AB (đl)

AD _|_ BC (gt) 

D thuộc BC

=> BD < DC

H thuộc AD 

=> HB < HC  

b, AD; BE là đường cao

ADcắt BE tại H 

=> CH là đường cao (đl)

=> CH _|_ AB (đn)

HF _|_ AB (gt)

=> C; H; F thẳng hàng

c.

\(AB>AD;AC>AD\left(ch>cgv\right)\)

\(\Rightarrow AB+AC>2AD\left(đpcm\right)\)

d

Kẻ \(HN//AC;HM//AB\)

Theo tính chất cặp đoạn chắn,ta có:\(HM=AN\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

\(HA< AM+HM=AM+AN\left(1\right)\)

Do \(BH\perp AC;HN//AC\Rightarrow NH\perp HN\)

Xét  \(\Delta BHN\) ta có:\(BH< BN\left(2\right)\)

Tương tự trong tam giác CHM có \(CH< CM\left(3\right)\)

Tiừ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow HA+HB+HC< AM+AN+BN+CM=AB+AC\)

Tương tự,ta có:

\(HA+HB+HC< AB+BC\)

\(HA+HB+HC< BC+AC\)

\(\Rightarrow3\left(HA+HB+HC\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\)

\(\Rightarrow HA+HB+HC< \frac{2}{3}\left(AB+BC+CA\right)\)