\(\Delta'=\left(m-5\right)^2+2m-9=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\ge0;\forall m\)

Pt đã cho luôn luôn có nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-5\right)\\x_1x_2=-2m+9\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên:

\(x_1^2-2\left(m-5\right)x_1-2m+9=0\Rightarrow x_1^2=2\left(m-5\right)x_1+2m-9\)

Thay vào bài toán:

\(2\left(m-5\right)x_1+2m-9+2\left(m-5\right)x_2=4m^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-5\right)\left(x_1+x_2\right)+2m-9=4m^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-5\right).2\left(m-5\right)+2m-9=4m^2\)

\(\Leftrightarrow-38m+91=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{91}{38}\)

a: \(\begin{cases}x+m-1>0\\ 3m-2-x>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x>-m+1\\ -x>-3m+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>-m+1\\ x<3m-2\end{cases}\)

=>-m+1<x<3m-2

Để hệ có nghiệm thì -m+1<3m-2

=>-4m<-3

=>m>3/4

=>Để hệ vô nghiệm thì m<=3/4

b: \(\begin{cases}x-1>0\\ mx-3>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>1\left(1\right)\\ mx>3\left(2\right)\end{cases}\)

TH1: m=0

(2) sẽ trở thành: 0x>3

=>0>3(sai)

=>Hệ vô nghiệm

TH2: m<0

(2) sẽ tương đương: \(x<\frac{3}{m}<0\)

mà x>1>0

nên hệ vô nghiệm

TH3: m>0

(2) sẽ tương đương: \(x>\frac{3}{m}\) >0

=>Hệ luôn có nghiệm với mọi m>0

c: \(\begin{cases}x+4m^2<=2mx+1\\ 3x+2>2x-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2mx<=1-4m^2\\ 3x-2x>-1-2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(1-2m\right)<=1-4m^2\left(1\right)\\ x>-3\left(2\right)\end{cases}\)

(1): \(x\left(1-2m\right)<=1-4m^2\)

=>x(1-2m)<=(1-2m)(1+2m)

TH1: m=1/2

(1) sẽ trở thành: \(x\left(1-2\cdot\frac12\right)<=\left(1-2\cdot\frac12\right)\left(1+2\cdot\frac12\right)\)

=>0x<=0(đúng)

=>Hệ có vô nghiệm

TH2: m<1/2

=>2m<1

=>2m-1<0

=>1-2m>0

(1) sẽ tương đương: x<=1+2m

=>-3<x<=2m+1

Để hệ có nghiệm khi 2m+1>-3

=>2m>-4

=>m>-2

=>-2<m<1/2

=>Để hệ vô nghiệm thì m<=-2

TH3: m>1/2

=>2m>1

=>2m-1>0

=>1-2m<0

(1) sẽ tương đương: x>=2m+1

mà x>-3

nên hệ luôn có nghiệm với mọi m>1/2

d: \(\begin{cases}7x-2\ge-4x+19\\ 2x-3m+2<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}11x\ge21\\ 2x<3m-2\end{cases}\)

=>\(\frac{21}{11}\le x<\frac{3m-2}{2}\)

Để hệ có nghiệm thì \(\frac{3m-2}{2}>\frac{21}{11}\)

=>\(3m-2>\frac{42}{11}\)

=>\(3m>\frac{42}{11}+2=\frac{42+22}{11}=\frac{64}{11}\)

=>\(m>\frac{64}{33}\)

=>Để hệ vô nghiệm thì m<=64/33

  ( m 2 + m + 3 ) x 2 + ( 4 m 2 + m + 2 ) x + m = 0  có a =   m 2   +   m   +   3 > 0, ∀m và có b =   4 m 2   +   m   +   2 > 0, ∀m, nên ab > 0, ∀m. Vì vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.

a, Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m^2-2m-2\right)=-3m^2+4m+3>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2-\sqrt{13}}{3}< m< \dfrac{2+\sqrt{13}}{3}\)

b, Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\2\left(m+1\right)>0\\4m^2-2m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

a) − 4 m 5 ( 2 n − m ) 2 ;                      b) 1 − b b + 5 .

Δ=(-4m)^2-4(4m^2-m+2)

=16m^2-16m^2+4m-8=4m-8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m-8>0

=>m>2

|x1-x2|=2

=>\(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=2\)

=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=2\)

=>\(\sqrt{\left(4m\right)^2-4\left(4m^2-m+2\right)}=2\)

=>\(\sqrt{16m^2-16m^2+4m-8}=2\)

=>\(\sqrt{4m-8}=2\)

=>4m-8=4

=>4m=12

=>m=3(nhận)

( m − 2 ) ( m + 1 ) ( 2 m − 3 ) ( m + 1 ) = 2 m 2 − m − 6 ( 2 m − 3 ) ( 2 m + 3 ) = 4 m 3 − 2 m 2 − 3 m − 18 ( 2 m − 3 ) ( 4 m 2 + 6 m + 9 ) .

Ta có: 

\(x^2-2\left(2m+1\right)x+4m^2+4m=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2mx\right)-2\left(m+1\right)x+4m\left(m+1\right)=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-2m\right)-2\left(m+1\right)\left(x-2m\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2m\right)\left(x-2m-2\right)=0\Leftrightarrow x_1=2m;...or...x_2=2m\)

\(\Rightarrow\left(x_1-2m\right)\left(x_2-2m\right)=0\Leftrightarrow\left(x_1-2m\right)^2\left(x_2-2m\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x_1^2-4mx_1+4m^2\right)\left(x_2^2-4mx_2+4m^2\right)=0\)

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-5\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+9\right)\)

\(=4\left(m^2-10m+25\right)-4\left(-2m+9\right)\)

\(=4m^2-40m+100+8m-36=4m^2-32m+64\)

\(=4\left(m^2-8m+16\right)=4\left(m-4\right)^2\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>\(4\left(m-4\right)^2>0\)

=>m-4<>0

=>m<>4

Theo Vi-et, ta có:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-5\right)\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-2m+9\end{cases}\)

\(x_1^2+x_2\cdot2\left(m-5\right)=4m^2\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=4m^2\)

=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=4m^2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=4m^2\)

=>\(\left(2m-10\right)^2-\left(-2m+9\right)=4m^2\)

=>\(4m^2-40m+100+2m-9=4m^2\)

=>-38m+91=0

=>-38m=-91

=>\(m=\frac{91}{38}\) (nhận)