a: \(\left|x+3\right|+\left|x+1\right|-x+4\le0\) (1)

TH1: x<-3

=>x+3<0; x+1<0

(1) sẽ trở thành:

-x-3-x-1-x+4<=0

=>-3x<=0

=>x>=0

mà x<-3

nên x∈∅

TH2: -3<=x<-1

=>x+3>=0; x+1<0

(1) sẽ trở thành: x+3-x-1-x+4<=0

=>-x+6<=0

=>-x<=-6

=>x>=6

mà -3<=x<=-1

nên x∈∅

TH3: x>=-1

=>x+3>0; x+1>=0

(1) sẽ trở thành: x+3+x+1-x+4<=0

=>x+8<=0

=>x<=-8

mà x>=-1

nên x∈∅

c: TH1: x>=1/3

BPT sẽ trở thành: \(3x-1

=>\(x^2-x+2>3x-1\)

=>\(x^2-4x+3>0\)

=>(x-3)(x-1)>0

=>x>3 hoặc x<1

=>x>3 hoặc 1/3<=x<1

TH2: x<1/3

BPT sẽ trở thành: \(-3x+1

=>\(x^2-x+2>-3x+1\)

=>\(x^2+2x+1>0\)

=>\(\left(x+1\right)^2>0\)

=>x+1<>0

=>x<>-1

=>x<1/3 và x<>-1

Lời giải:

Có: \(x^4+y^4+z^2+1\geq 2x(xy^2-x+z+1)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^2+1-2x^2y^2+2x^2-2xz-2x\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x^4+y^4-2x^2y^2)+(z^2+x^2-2xz)+(x^2+1-2x)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(z-x)^2+(x-1)^2\geq 0\)

Điều trên luôn đúng do \((x^2-y^2)^2\geq 0; (z-x)^2\geq 0; (x-1)^2\geq 0\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=0\\ z-x=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ z=1\\ y=\pm 1\end{matrix}\right.\)

a/ \(\Leftrightarrow2\left(x^2+4x+4\right)-2x-\frac{7}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+6x+\frac{9}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy nghiệm của BPT là \(D=R\)

b/ \(\Leftrightarrow\frac{x^2+x-1}{1-x}+x>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x-1+x-x^2}{1-x}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-1}{1-x}>0\Rightarrow\frac{1}{2}< x< 1\)

c/ \(x^2+x+12=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{47}{4}>0\) \(\forall x\) nên BPT tương đương:

\(x^2+x+12>x^2+x+12\)

\(\Leftrightarrow0>0\)

Vậy BPT vô nghiệm

a: m<2

=>m-2<0

mx+6<2x+3m

=>mx-2x-3m+6<0

=>x(m-2)-3(m-2)<0

=>(m-2)(x-3)<0

mà m-2<0

nên x-3>0

=>x>3

b: m(2x-1)>=2x+1

=>2xm-m>=2x+1

=>2xm-2x>=m+1

=>x(2m-2)>=m+1

Để tập nghiệm là [1;+∞) thì \(\begin{cases}2m-2>0\\ \frac{m+1}{2m-2}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2m>2\\ 2m-2=m+1\end{cases}\)

=>m>1 và m=3

=>m=3

c: 2x-m<3(x-1)

=>2x-m<3x-3

=>2x-3x<m-3

=>-x<m-3

=>x>-m+3

Để tập nghiệm là (4;+∞) thì -m+3=4

=>-m=1

=>m=-1

\(\hept{\begin{cases}y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\left(1\right)\\4xy^3+y^2+\frac{1}{2}\ge2x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(VP\left(1\right)=\sqrt{\frac{1}{4}-\left(xy-\frac{1}{2}\right)^2}\le\frac{1}{2}\Rightarrow VT\left(1\right)=y^6+y^3+2x^2\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^3+4x^2\le1\left(3\right)\)

Từ (2)(3) => \(8xy^3+2y^3+2\ge2y^6+4x^2+4x^2+2\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow8xy^3+2\ge2y^6+8x^2+2\sqrt{2+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow4xy^3+1\ge y^6+4x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\ge y^6-4xy^3+4x^2=\left(y^3-2x\right)^2\left(4\right)\)

\(VT\left(4\right)\le0;VP\left(4\right)\ge0\). Do đó:

(4) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\y^3=2x\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\y^3=y\end{cases}}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{2}\\y=-1\end{cases}}\)

Thử lại chỉ có \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};-1\right)\)thỏa mãn

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};-1\right)\)

Ta có:\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng) \(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(1)

Mặt khác: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng) \(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm