1: Xét (I) có

ΔAMC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại M

=>CM⊥DA tại M

Xét (J) có

ΔCNB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCNB vuông tại N

=>CN⊥DB tại N

Xét (O) có

ΔDAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔDAB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMCN là hình chữ nhật

2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có

\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Do đó: ΔDMN~ΔDBA

=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)

mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)

=>AMNB là tứ giác nội tiếp

c: ΔDNM~ΔDAB

=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)

Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)

=>OD⊥ Dx tại D

Xét (O) có

\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB

\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Dx//MN

=>MN⊥OD

a: Gọi N là trung điểm của BH và J là trung điểm của HC

Xét (N) có

ΔBEH nội tiếp

BH là đường kính

Do đó: ΔBEH vuông tại E

=>HE⊥AB tại E

Xétt (J) có

ΔHFC nội tiếp

HC là đường kính

Do đó: ΔHFC vuông tại F

=>HF⊥AC tại F

Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

b: Gọi X là giao điểm của AH và EF

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

AEHF là hình chữ nhật

=>AH cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>X là trung điểm chung của AH và EF

\(XA=XH=\frac{AH}{2}\)

\(XE=XF=\frac{EF}{2}\)

mà AH=EF

nên XA=XH=XE=XF

Xét ΔXEN và ΔXHN có

XE=XH

EN=HN

XN chung

Do đó: ΔXEN=ΔXHN

=>\(\hat{XEN}=\hat{XHN}=90^0\)

=>EF⊥ EN tại E

=>EF là tiếp tuyến tại E của (N)

Xét ΔXHJ và ΔXFJ có

XH=XF

HJ=FJ

XJ chung

Do đó: ΔXHJ=ΔXFJ

=>\(\hat{XHJ}=\hat{XFJ}\)

=>\(\hat{XFJ}=90^0\)

=>FE⊥ FJ tại F

=>FE là tiếp tuyến tại F của (J)

c: I đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của HI

=>AH=AI và BH=BI

H đối xứng K qua AC

=>AC là đường trung trực của HK

=>AH=AK; CH=CK

Xét ΔAIB và ΔAHB có

AI=AH

IB=HB

AB chung

Do đó: ΔAIB=ΔAHB

=>\(\hat{IAB}=\hat{HAB}\)

=>AB là phân giác của góc IAH

=>\(\hat{IAH}=2\cdot\hat{BAH}\)

Xét ΔAHC và ΔAKC có

AH=AK

CH=CK

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAKC

=>\(\hat{HAC}=\hat{KAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAK

=>\(\hat{HAK}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{IAK}=\hat{IAH}+\hat{HAK}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=180^0\)

=>I,A,K thẳng hàng

a: Xét tứ giác ADBO có

\(\widehat{DBO}+\widehat{DAO}=90^0+90^0=180^0\)

=>ADBO là tứ giác nội tiếp

=>A,D,B,O cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>BA\(\perp\)AC tại A

=>BA\(\perp\)CE tại A

Xét (O) có

DA,DB là các tiếp tuyến

DO đó: DA=DB

=>D nằm trên đường trung trực của AB(1)

ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OD là đường trung trực của AB

=>OD\(\perp\)AB

Ta có: OD\(\perp\)AB

CE\(\perp\)AB

Do đó: OD//CE

Xét ΔEBC vuông tại B có BA là đường cao

nên \(CA\cdot CE=CB^2\)

=>\(CA\cdot CE=\left(2R\right)^2=4R^2\)

a) Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp đường tròn(B,D,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBDC vuông tại D(Định lí)

⇔CD⊥BD tại D

⇔CD⊥AB tại D

⇔\(\widehat{ADC}=90^0\)

hay \(\widehat{ADH}=90^0\)

Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

⇔BE⊥CE tại E

⇔BE⊥AC tại E

⇔\(\widehat{AEB}=90^0\)

hay \(\widehat{AEH}=90^0\)

Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}\) và \(\widehat{AEH}\) là hai góc đối

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ADHE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACD vuông tại D có 

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE∼ΔACD(g-g)

⇔\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB\cdot AD=AC\cdot AE\)(đpcm)

a.

Do AD là tiếp tuyến tại A \(\Rightarrow\widehat{OAD}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm O, A, D thuộc đường tròn đường kính OD (1)

BD là tiếp tuyến tại B \(\Rightarrow\widehat{OBD}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm O, B, D thuộc đường tròn đường kính OD (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\) 4 điểm A, D, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OD

b.

Do D là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau

\(\Rightarrow DA=DB\)

Mà \(OA=OB=R\)

\(\Rightarrow OD\) là trung trực của AB \(\Rightarrow OD\perp AB\) (3)

BC là đường kính và A thuộc đường tròn nên \(\widehat{BAC}\) là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\Rightarrow BA\perp CA\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow OD||CA\) (cùng vuông góc AB) hay \(OD||CE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BCE với đường cao BA ứng với cạnh huyền:

\(BC^2=CA.CE\Rightarrow\left(2R\right)^2=CA.CE\)

\(\Rightarrow CA.CE=4R^2\)

Em kiểm tra lại đề bài, đoạn này là sao nhỉ: "Tiếp tuyến tại 4 của (O) "

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

b: CD=CM+MD

=CA+DB

c: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(CM\cdot MD=OM^2\)

=>\(CA\cdot BD=OM^2=R^2\)

d: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB

ΔOAM cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AM

OC⊥AM

AM⊥MB

Do đó: OC//MB

e: Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên NO=OC=OD

=>O nằm trên (N)

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC
=>ON//AC//BD

=>ON⊥AB

=>AB là tiếp tuyến tại O của (CD/2)

a: Xét tứ giác OBMC có 

\(\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=180^0\)

Do đó: OBMC là tứ giác nội tiếp