Thao m =3 và HPT ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(3-1\right)x+y=3\\x+\left(3-1\right)y=2\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\x+2y=2\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=6\\x+2y=2\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=6\\3x=4\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=3 thì HPT có nghiệm (x;y) = (\(\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}\))

a) Thay m=3 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\x+2y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\2x+4y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=-1\\2x+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{3}\\2x=3-y=3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

a: \(M=\dfrac{x^2-3x+2x^2+6x-3x^2-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{3}{x+3}\)

câu b c d e đâu anh ơi

Bài 2:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x-2}{x\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x+x+2+x-2}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{3x}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{3}{x+2}\)

Để 3/x+2 là số nguyên thì \(x+2\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(x\in\left\{-1;-3;1;-5\right\}\)

Điều kiện:

$x\ne0,\quad x\ne-2$

Ta có:

$\dfrac1x+\dfrac1{x+2}+\dfrac{x-2}{x^2+2x}$

$=\dfrac1x+\dfrac1{x+2}+\dfrac{x-2}{x(x+2)}$

$=\dfrac{x+2+x+x-2}{x(x+2)}$

$=\dfrac{3x}{x(x+2)}$

$=\dfrac3{x+2}$

Để biểu thức nhận giá trị nguyên thì:

$\dfrac3{x+2}\in\mathbb Z$

$\Rightarrow x+2\in{-3,-1,1,3}$

$\Rightarrow x\in{-5,-3,-1,1}$

Vậy $x\in{-5,-3,-1,1}$.

Nếu đúng như bạn ghi:

$\dfrac1{x^2-4}=\dfrac9{x-2}+\dfrac b{x+2}$

Điều kiện:

$x\ne\pm2$

Quy đồng:

$1=9(x+2)+b(x-2)$

$1=(9+b)x+18-2b$

Suy ra:

$\begin{cases}9+b=0\18-2b=1\end{cases}$

Từ phương trình đầu:

$b=-9$

Nhưng phương trình sau:

$18-2(-9)=36\ne1$

Vậy không tồn tại $b$, nên câu này cũng có khả năng bạn ghi nhầm số $9$.

Nếu đề đúng là:

$\dfrac1{x^2-4}=\dfrac a{x-2}+\dfrac b{x+2}$

thì:

$1=a(x+2)+b(x-2)$

$1=(a+b)x+2a-2b$

$\Rightarrow\begin{cases}a+b=0\2a-2b=1\end{cases}$

$\Rightarrow a=\dfrac14,\quad b=-\dfrac14$.

Ta có:

$\dfrac1{x^3+1}=\dfrac a{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2-x+1}$

Điều kiện:

$x\ne-1$

Vì:

$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

Quy đồng:

$1=a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1)$

Khai triển:

$1=ax^2-ax+a+bx^2+bx+cx+c$

$1=(a+b)x^2+(-a+b+c)x+(a+c)$

So sánh hệ số:

$\begin{cases}a+b=0\-a+b+c=0\a+c=1\end{cases}$

Từ $a+b=0$:

$b=-a$

Thay vào $-a+b+c=0$:

$-a-a+c=0$

$c=2a$

Thay vào $a+c=1$:

$a+2a=1$

$3a=1$

$a=\dfrac13$

$b=-\dfrac13$

$c=\dfrac23$

Vậy $a=\dfrac13,\ b=-\dfrac13,\ c=\dfrac23$.

1.

\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)

\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)

\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)

\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)

\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)

Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)

2.

Đặt \(A=9^n+62\)

Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)

Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)

Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\)  và \(6m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)

\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)

\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)

Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp

Để (d) cắt (d') thì \(m^2-2\ne2\)

=>\(m^2\ne4\)

=>\(m\notin\left\{2;-2\right\}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\left(m^2-2\right)x+m-1=2x-3\)

=>\(\left(m^2-2-2\right)x=-3-m+1\)

=>\(\left(m^2-4\right)x=-m-2\)

Để (d) cắt (d') tại điểm có hoành độ là số nguyên thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m\notin\left\{2;-2\right\}\\\left(m^2-4\right)x=-m-2\\x\in Z\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\notin\left\{2;-2\right\}\\x=\dfrac{-\left(m+2\right)}{\left(m+2\right)\left(m-2\right)}=-\dfrac{1}{m-2}\\x\in Z\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\in R\backslash\left\{2;-2\right\}\\m-2\inƯ\left(-1\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\notin\left\{2;-2\right\}\\m-2\in\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\left\{3;1\right\}\)