Ta có:

\(n^2+9n-2=n^2-2n+11n-2\)

\(=n(n-2)+11n-2\)

Vì \(n^2+9n-2\) chia hết cho 11 nên:

\(n^2+9n-2\equiv0\pmod{11}\)

Suy ra:

\(n^2-2n-2\equiv0\pmod{11}\)

Thử các số dư từ 0 đến 10, ta được:

- \(n\equiv 4\pmod{11}\)

- \(n\equiv 9\pmod{11}\)

Vậy \(n=11k+4\) hoặc \(n=11k+9\), với \(k\in\mathbb{N}\).

Mình hiểu đề bài là:

\(A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)\).

Ta có:

\(A=5^{2n}+5^n-6^n\cdot3^n-6^n\cdot2^n\)

\(=25^n+5^n-18^n-12^n\).

Tuy nhiên, biểu thức này không có tính chất chia hết cho 91 với mọi \(n\). Chẳng hạn \(n=1\):

\(A=5(6)-6(5)=0\), chia hết cho 91.

Bạn kiểm tra lại đề bài Bài 2 giúp mình, đặc biệt là các số mũ và dấu phép tính trong ngoặc nhé.

Ta có:

\(\overline{ababab}=100000a+10000b+1000a+100b+10a+b\)

\(=101010a+10101b\)

\(=10101(10a+b)\)

Mà \(10101=13\times777\).

Vậy \(\overline{ababab}\) chia hết cho 13 (điều phải chứng minh).

Ta có:

\(\overline{abcabc}=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c\)

\(=100100a+10010b+1001c\)

\(=1001(100a+10b+c)\)

Mà \(1001=11\times91\).

Vậy \(\overline{abcabc}\) chia hết cho 11 (điều phải chứng minh).

Ta có:

\(12^{2004}-2^{1000}\)

\(= (10+2)^{2004}-2^{1000}\)

Vì \(12\) tận cùng là \(2\), nên \(12^{2004}\) tận cùng là \(6\) (do chu kỳ tận cùng của lũy thừa 2 là 2, 4, 8, 6).

Mặt khác, \(2^{1000}\) tận cùng là \(6\).

Vậy \(12^{2004}-2^{1000}\) có chữ số tận cùng là \(6-6=0\).

Suy ra biểu thức chia hết cho 10.

- Chứng minh C chia hết cho 3

Ta có:

\(C=2+2^2+2^3+\cdots+2^{60}\)

Vì \(2\equiv -1\pmod 3\), nên:

\(C\equiv -1+1-1+1+\cdots+1\pmod 3\)

Có 60 số hạng, ghép thành 30 cặp:

\(C\equiv (-1+1)\times30=0\pmod 3\).

Vậy \(C\) chia hết cho 3.

- Chứng minh C chia hết cho 7

Ta có:

\(2^3=8\equiv1\pmod 7\).

Do đó:

\(C=(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+\cdots+(2^{58}+2^{59}+2^{60})\)

Mỗi nhóm 3 số hạng đều có tổng chia hết cho 7 vì:

\(2+2^2+2^3=2+4+8=14\).

Vậy \(C\) chia hết cho 7.

- Chứng minh C chia hết cho 15

Vì \(C\) chia hết cho 3 và 5 thì \(C\) chia hết cho 15.

Ta có \(2^4=16\equiv1\pmod 5\).

Nhóm 4 số hạng:

\(2+2^2+2^3+2^4=2+4+8+16=30\)

Các nhóm 4 số hạng tiếp theo cũng có tổng chia hết cho 5.

Vì 60 chia hết cho 4 nên \(C\) chia hết cho 5.

Vậy \(C\) chia hết cho 15.

Kết luận: \(C\) chia hết cho 3, 7 và 15.

Ta có: \(A=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{30}\).

Ta có chữ số tận cùng của các lũy thừa của 3 lần lượt là:

- \(3^1\): tận cùng là 3.

- \(3^2\): tận cùng là 9.

- \(3^3\): tận cùng là 7.

- \(3^4\): tận cùng là 1.

Cứ 4 lũy thừa thì chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ \(3,9,7,1\).

Ta có:

\(3+9+7+1=20\)

Vì \(30=4\times7+2\), nên:

\(A\) có chữ số tận cùng giống \(1+7\times20+3+9\).

\(=1+140+12=153\).

Vậy chữ số tận cùng của \(A\) là \(\boxed{3}\).

Ta có:

\(A=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{30}\)

Nhóm các số hạng thành từng cặp:

\(A=(1+3)+(3^2+3^3)+\cdots+(3^{28}+3^{29})+3^{30}\)

Vì \(3\equiv-1\pmod4\), nên:

\(3^2\equiv1\pmod4\).

Do đó mỗi cặp đều có tổng chia hết cho 4:

- \(1+3=4\)

- \(3^2+3^3=9+27=36\), chia hết cho 4.

- Các cặp tiếp theo cũng tương tự.

Nhưng còn số hạng cuối \(3^{30}\), có số dư 1 khi chia cho 4.

Vì vậy \(A\) không chia hết cho 4.

a) 10⁹ + 2 = 1000000000 + 2

= 100000002 chia hết cho 3 suy ra 1+0+0+0+0+0+0+0+0+2 = 3 chia hết cho 3.

Vậy 10⁹ + 2 chia hết cho 3.

b) 10¹⁰ - 1 = 10000000000 - 1 = 9999999999 chia hết cho 9

Vậy 10¹⁰ - 1 chia hết cho 9.

Ta có:

\(10\equiv1\pmod3\)

Suy ra:

\(10^9+2\equiv1^9+2\pmod3\)

\(=1+2=3\equiv0\pmod3\)

Vậy \(10^9+2\) chia hết cho 3.

Ta có:

\(10\equiv1\pmod9\)

Suy ra:

\(10^{10}-1\equiv1^{10}-1\pmod9\)

\(=1-1=0\pmod9\)

Vậy \(10^{10}-1\) chia hết cho 9.

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người đọc đề của bạn dễ hiểu hơn nhé.

1) \(16x\cdot 6^2-36=0\)

\(16x\cdot36=36\)

\(16x=36:36\)

\(16x=1\)

\(x=\dfrac{1}{16}\)

2) \(6x+2x=7^8:7^5\)

\(8x=7^{8-5}\)

\(8x=7^3\)

\(8x=343\)

\(x=\dfrac{343}{8}\)

3) \(7x-12=6^3:6^2\)

\(7x-12=6^{3-2}\)

\(7x-12=6\)

\(7x=6+12\)

\(7x=18\)

\(x=\dfrac{18}{7}\)

Câu 2:

TH1: n=2k

=>A=2k(2k+13) chia hết cho 2

TH2: n=2k+1

=>A=(2k+1)(2k+14)=2(k+7)(2k+1) chia hết cho 2

Ta có:

\(A=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{11}\)

\(=(1+2)+(2^2+2^3)+\cdots+(2^{10}+2^{11})\)

\(=3+2^2(1+2)+2^4(1+2)+\cdots+2^{10}(1+2)\)

\(=3+3\cdot2^2+3\cdot2^4+\cdots+3\cdot2^{10}\)

\(=3(1+2^2+2^4+\cdots+2^{10})\)

Vậy \(A\) chia hết cho 3 (điều phải chứng minh).

A. \(A=2-2^5+2^9-\cdots-2^{85}\)

Ta có:

\(A=(2-2^5)+(2^9-2^{13})+\cdots+(2^{81}-2^{85})\)

\(=(2-2^5)(1+2^8+2^{16}+\cdots+2^{80})\)

\(=-30(1+2^8+2^{16}+\cdots+2^{80})\)

B. \(B=-5-5^3-5^5-\cdots-5^{65}\)

Ta đặt \(5\) làm nhân tử chung:

\(B=-5(1+5^2+5^4+\cdots+5^{64})\)

Đây là cách rút gọn biểu thức. Nếu đề yêu cầu tính ra số cụ thể thì cần tiếp tục dùng công thức tổng cấp số nhân.

Ta có:

\(n-1=(n-10)+9\)

Vì \(n-1\) chia hết cho \(n-10\) nên 9 chia hết cho \(n-10\).

Suy ra \(n-10\in\{1;-1;3;-3;9;-9\}\).

Lưu ý \(n\ne10\).

Suy ra:

\(n-10=1;-1;3;-3;9;-9\)

Vậy \(n=11;9;13;7;19;1\).

Ta có:

\(3(n+3)-(3n-3)=12\)

Vì \(n+3\) chia hết cho \(3n-3\) nên 12 chia hết cho \(3n-3\).

Suy ra:

\(3n-3\in\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm6;\pm12\}\).

Mà \(3n-3\) chia hết cho 3 nên:

\(3n-3\in\{-12;-6;-3;3;6;12\}\)

Suy ra:

\(n\in\{-3;-1;0;2;3;5\}\).

Ta có:

\(2(6n+1)-3(4n-1)=5\)

Vì \(6n+1\) chia hết cho \(4n-1\) nên 5 chia hết cho \(4n-1\).

Suy ra:

\(4n-1\in\{-5;-1;1;5\}\)

Vì \(n\) là số nguyên nên:

- \(4n-1=-5\Rightarrow n=-1\).

- \(4n-1=-1\Rightarrow n=0\).

- Hai trường hợp còn lại không cho \(n\) nguyên.

Vậy \(n\in\{-1;0\}\).

Phần d bạn ghi là:

\((n+1)\cdot(n+5)\quad n+8<0\)

Mình chưa xác định được đề có phải là phân số \(\dfrac{(n+1)(n+5)}{n+8}<0\) hay tích \((n+1)(n+5)(n+8)<0\). Bạn kiểm tra lại ghi rõ ràng nhé

Vì \(P,Q\) là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(P,Q\) đều là số lẻ và không chia hết cho 3.

Ta có:

- Vì \(P,Q\) là số lẻ nên \(P^2\equiv Q^2\equiv1\pmod8\).

Suy ra:

\(P^{2n}-Q^{2n}\equiv1^n-1^n\equiv0\pmod8\).

- Vì \(P,Q\) không chia hết cho 3 nên:

\(P^2\equiv Q^2\equiv1\pmod3\).

Suy ra:

\(P^{2n}-Q^{2n}\equiv1^n-1^n\equiv0\pmod3\).

Vậy \(P^{2n}-Q^{2n}\) chia hết cho 8 và 3.

Mà \(\mathrm{ƯCLN}(8,3)=1\), nên \(P^{2n}-Q^{2n}\) chia hết cho \(8\cdot3=24\).

Điều phải chứng minh.