a: Thay m=2 vào hệ, ta được:

\(\begin{cases}x-2y=3-2=1\\ 2x+y=3\cdot\left(2+2\right)=3\cdot4=12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x-4y=2\\ 2x+y=12\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x-4y-2x-y=12-2\\ 2x+y=12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-5y=10\\ 2x=12-y\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=-2\\ 2x=12-\left(-2\right)=12+2=14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-2\\ x=7\end{cases}\)

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì 1/2<>-2/1(luôn đúng)

=>Hệ luôn có nghiệm duy nhất

c: \(\begin{cases}x-2y=3-m\\ 2x+y=3\left(m+2\right)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x-4y=6-2m\\ 2x+y=3m+6\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2x-4y-2x-y=6-2m-3m-6\\ x-2y=3-m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-5y=-5m\\ x=2y+3-m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=m\\ x=2m+3-m=m+3\end{cases}\)

\(A=x^2+y^2\)

\(=\left(m+3\right)^2+m^2=2m^2+6m+9\)

\(=2\left(m^2+3m+\frac92\right)=2\left(m^2+3m+\frac94+\frac94\right)=2\left(m+\frac32\right)^2+\frac92\ge\frac92\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m+3/2=0

=>m=-3/2

d: 5x-y=3

=>5(m+3)-m=3

=>5m+15-m=3

=>4m=3-15=-12

=>m=-3

Đặt  \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}\Rightarrow S^2\ge4P}\)    , ta có:

\(\hept{\begin{cases}S+P=a+1\\SP=a\end{cases}}\) nên để hệ có nghiệm duy nhất thì 

\(\left(a+1\right)^2\ge4a\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=1\)

\(x-y=2\Rightarrow y=x-2\). Thay vào pt đầu tiên, ta có:

\(\left(m-1\right)x+2\left(x-2\right)=m+1\) 

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)x=m+5\)

 Ta thấy \(m\) không thể bằng -1 được vì khi đó \(m+5=0\Leftrightarrow m=-5\), trong khi \(m\) không thể mang 2 giá trị cùng một lúc. Vì vậy, \(m\ne-1\).  \(\Rightarrow x=\dfrac{m+5}{m+1}\)

\(\Rightarrow y=x-2=\dfrac{m+5}{m+1}-2\) \(=\dfrac{3-m}{m+1}\).

Từ đó, ta có \(xy=\dfrac{\left(m+5\right)\left(3-m\right)}{\left(m+1\right)^2}\).

Rõ ràng \(\left(m+1\right)^2>0\) nên để \(xy>0\) thì \(\left(m+5\right)\left(3-m\right)>0\) \(\Leftrightarrow-5< m< 3\)

Kết luận: Để hpt đã cho có nghiệm duy nhất \(x,y\) thỏa mãn ycbt thì\(-5< m< 3\) và \(m\ne-1\)

Hệ pt : \(\begin{cases}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{cases}\)

Xét pt đầu : \(x+my=m+1\Leftrightarrow x=m+1-my\) thay vào pt còn lại :

\(m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\)

\(\Leftrightarrow y\left(1-m^2\right)=-m^2+2m-1\)

Nếu \(m=1\) thì pt có dạng 0.y = 0 => Vô số nghiệm.

Nếu m = -1 thì pt có dạng 0.x = -4 => vô nghiệm.

Xét với \(m\ne1\) và \(m\ne-1\) thì pt có nghiệm \(y=\frac{-\left(m-1\right)^2}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}=\frac{m-1}{m+1}\)

\(\Rightarrow x=m+1-m\left(\frac{m-1}{m+1}\right)=m+1-\frac{m^2-m}{m+1}=\frac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}\)

Xét \(xy=\frac{\left(m-1\right)\left(3m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}=\frac{3m^2-2m-1}{\left(m+1\right)^2}\)

Đặt \(t=m+1\) thì \(m=t-1\) thay vào biểu thức trên được

\(\frac{3\left(t-1\right)^2-2\left(t-1\right)-1}{t^2}=\frac{3t^2-8t+4}{t^2}=\frac{4}{t^2}-\frac{8}{t}+3\)

Lại đặt \(a=\frac{1}{t}\) thì : \(4a^2-8a+3=4\left(a-1\right)^2-1\ge-1\)

Suy ra \(xy\ge-1\) . Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=1\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow m=0\)

Vậy với m = 0 thì xy đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1

cam on

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{m}<>\frac{1}{-1}\)

=>m<>-1

c: Để hệ có nghiệm duy nhất thì m<>-1

\(\begin{cases}x+y=2\\ mx-y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y+mx-y=2+1=3\\ x+y=2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(m+1\right)=3\\ x+y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{3}{m+1}\\ y=2-x=2-\frac{3}{m+1}=\frac{2m+2-3}{m+1}=\frac{2m-1}{m+1}\end{cases}\)

x-3y=5

=>\(\frac{3}{m+1}-\frac{3\left(2m-1\right)}{m+1}=5\)

=>3-3(2m-1)=5(m+1)

=>3-6m+3=5m+5

=>-6m+6=5m+5

=>-11m=-1

=>\(m=\frac{1}{11}\) (nhận)

d: xy<0

=>\(\frac{3}{m+1}\cdot\frac{2m-1}{m+1}<0\)

=>3(2m-1)<0

=>2m-1<0

=>\(m<\frac12\)

Kết hợp với m<>-1, ta được: \(\begin{cases}m<\frac12\\ m<>-1\end{cases}\)

e: x+2y>4

=>\(\frac{3}{m+1}+\frac{2\left(2m-1\right)}{m+1}>4\)

=>3+2(2m-1)>4(m+1)

=>3+4m-2>4m+4

=>1>4(sai)

=>m∈∅

f: Để x,y nguyên thì 3⋮m+1 và 2m-1⋮m+1

=>3⋮m+1 và 2m+2-3⋮m+1

=>3⋮m+1 và -3⋮m+1

=>3⋮m+1

=>m+1∈{1;-1;3;-3}

=>m∈{0;-2;2;-4}

Ta có  3 x + y = 2 m + 9 x + y = 5 ⇔ x = m + 2 y = 3 − m

⇒ A = x y + x – 1 = 8 – ( m – 1 ) 2

  A m a x   =   8 khi m = 1

Đáp án: A