Từ đầu bài 

=> 5²S=5²+5⁴+5⁶+...+5²⁰²

=>5²S-S= (5²+5⁴+5⁶+...+5²⁰²)-(1+5²+5⁴+...+5²⁰⁰)

=>  24.S = 5²⁰²-1

=>     S  = \(\frac{5^{202}-1}{24}\)

Lời giải:
Gọi tổng trên là $K$
$K=1+5^2+5^3+5^4+...+5^{200}$

$5K=5+5^3+5^4+5^5+...+5^{201}$
$\Rightarrow 5K-K = 5+5^{201}-1-5^2$

$\Rightarrow 4K = 5^{201}-21$

$\Rightarrow K= \frac{5^{201}-21}{4}$

\(S=1-2+3-4+...+199-200+201\)

\(=\left(1-2\right)+\left(3-4\right)+...+\left(199-200\right)+201\)

\(=1+1+...+1+201\)

\(=\dfrac{200}{2}+201\)

\(=301\)

chán!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Lời giải:

\(S=1+5^2+5^4+....+5^{198}+5^{200}\) (1)

\(\Rightarrow 5^2.S=5^2+5^4+...+5^{200}+5^{202}\) (2)

Lấy (2) trừ (1):

\(S(5^2-1)=(5^2+5^4+...+5^{200}+5^{202})-(1+5^2+....+5^{200})\)

\(\Leftrightarrow 24S=5^{202}-1\Leftrightarrow S=\frac{5^{202}-1}{24}\)

\(S=1+5^2+5^4+...+5^{200}.\)

\(5^2S=5^2\left(1+5+5^2+...+5^{200}\right).\)

\(5^2S=5^2+5^4+5^6+...+5^{202}.\)

\(5^2S-S=\left(5^2+5^4+5^6+...+5^{202}\right)-\left(1+5^2+5^4+...+5^{200}\right).\)

\(24S=5^{202}-1\Rightarrow S=\dfrac{5^{202}-1}{24}.\)

Vậy.....

cần giải thích ko mình gửi luôn?

1;3;5;7;...;199 , tạm bỏ 201 , có 100 số tự nhiên

và mỗi lần tính càng về sau thì -1

100 x (-1)= -100

cộng thêm 201 là -100+201=101