\(c^2 + d^2 + 25 = 6c + 8d\)

=>\(c^2-6c+9+d^2-8d+16=0\)

=>\(\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\)

=>c=3 và d=4

P=3*3+4*4-(a*3+b*4)=25-(3a+4b)

\((3a + 4b)^2 \le (3^2 + 4^2)(a^2 + b^2)\)

=>\((3a + 4b)^2 \le (9 + 16) \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 50\)

=>\(-5\sqrt{2}\le3a+4b\le5\sqrt{2}\)

=>\(P \le 25 - (-5\sqrt{2}) = 25 + 5\sqrt{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases} \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} < 0 \\ a^2 + b^2 = 2 \end{cases}\)

Đặt \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k\) (k<0)

=>a=3k; b=4k

\(a^2+b^2=2\)

=>\(\left(3k\right)^2+\left(4k\right)^2=2\)

=>\(25k^2=2\)

=>\(k^2=\frac{2}{25}\)

=>\(k=-\frac{\sqrt2}{5}\)

=>\(a=3k=-\frac{3\sqrt2}{5};b=4k=-\frac{4\sqrt2}{5}\)

Vì \(\frac{c}{b}+\frac{d}{c}=\frac{c+d}{b+c}=1\)

Mà \(a+b=c+d=25\)

Nên \(\frac{c}{b}=\frac{d}{b}\)

Vậy \(M=\frac{c}{b}+\frac{d}{b}\le2\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{25}{2}\)

sai r bạn

Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:

Với $a,b>0$ thì $a^2+b^4\ge ab(a^2+b^2)$

Cách CM:

BĐT trên tương đương với: $(a-b{)}^2(a^2+ab+b^2)\ge 0$ (luôn đúng)

Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :

$\Rightarrow \frac{c}{a^4+b^4+c}\le \frac{c}{ab(a^2+b^2)+c^{2}ab}=\frac{c}{ab(a^2+b^2+c^{\mathrm{...}}}$

Nó bị mất cái dấu gạch ngang chỗ phân số nha b

12632t54s jsd

Ta có \(a+b=c+d=25\Rightarrow\frac{c}{b}=\frac{d}{a}\)(vì \(\frac{c}{b}+\frac{d}{b}=\frac{c+d}{b+a}=1\)

Vậy \(M=\frac{c}{b}+\frac{d}{a}\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{25}{2}\)

Vì \(\frac{c}{b}+\frac{d}{b}=\frac{c+d}{b+a}=1\)

Nên \(a+b=c+d=25=>\frac{c}{b}=\frac{d}{b}\)

Vậy \(M=\frac{c}{b}+\frac{d}{a}\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{25}{2}\)