Bài 5:

a: A đối xứng D qua BC

=>BC là đường trung trực của AD
=>BC⊥AD
mà BC⊥AH

và AH,AD có điểm chung là A

nên A,H,D thẳng hàng

BC là đường trung trực của AD
=>BC⊥AD tại H và H là trung điểm của AD

Xét tứ giác ABDM có

H là trung điểm chung của AD và BM

=>ABDM là hình bình hành

Hình bình hành ABDM có AD⊥BM

nên ABDM là hình thoi

b: Xét ΔABC có

F,K lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>FK là đường trung bình của ΔABC

=>FK//BC

=>FK//HE

Xét ΔBAC có

F,E lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>FE là đường trung bình của ΔBAC

=>FE//AC và FE=AC/2

ΔAHC vuông tại H

mà HK là đường trung tuyến

nên \(HK=\frac{AC}{2}\)

=>HK=FE

Xét tứ giác EHKF có

EH//KF

EK=HF

Do đó: EHKF là hình thang cân

c: Hình thoi ABDM trở thành hình vuông khi \(\hat{ABD}=90^0\)

ABDM là hình thoi

=>BC là phân giác của góc ABD

=>\(\hat{ABC}=\frac12\cdot\hat{ABD}=\frac12\cdot90^0=45^0\)

BÀi 4:

a: Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//BC và \(ED=\frac{BC}{2}\)

Xét tứ giác BEDC có ED//BC

nên BEDC là hình thang

b: Xét ΔGBC có

H,K lần lượt là trung điểm của GB,GC

=>HK là đường trung bình của ΔGBC

=>HK//BC và \(HK=\frac{BC}{2}\)

DE//BC

HK//BC

Do đó: DE//HK

\(DE=\frac{BC}{2}\)

\(HK=\frac{BC}{2}\)

Do đó: DE=HK

Xét tứ giác DEHK có

DE//HK

DE=HK

Do đó: DEHK là hình bình hành

Xét ΔABC có

AM,BD,CE là các đường trung tuyến

AM,BD,CE đồng quy tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>AG=2GM

Xét ΔBAG có

E,H lần lượt là trung điểm của BA,BG

=>EH là đường trung bình của ΔBAG

=>EH//AG và EH=AG/2

EH=AG/2

GM=GA/2

Do đó: EH=GM

EH//AG

=>EH//GM

Xét tứ giác MHEG có

EH//MG

EH=MG

Do đó: MHEG là hình bình hành

c: Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DE⊥ EH

DE⊥ EH

DE//BC

Do đó: EH⊥BC

EH⊥BC

AM//EH

Do đó: AM⊥BC

Xét ΔABC có

AM là đường cao

AM là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

a: \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=10a\)

b: \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{BC}{2}=5a\)

1) Vì x=25 thỏa mãn ĐKXĐ nên Thay x=25 vào biểu thức \(A=\dfrac{\sqrt{x}-2}{x+1}\), ta được:

\(A=\dfrac{\sqrt{25}-2}{25+1}=\dfrac{5-2}{25+1}=\dfrac{3}{26}\)

Vậy: Khi x=25 thì \(A=\dfrac{3}{26}\)

2) Ta có: \(B=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2x+8\sqrt{x}-6}{x-\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{2x+8\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-5\sqrt{x}+6+2x+8\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

câu 3 chứ

\(1,ĐK:x\ge2\\ PT\Leftrightarrow\sqrt{3x-6}+x-2-\left(\sqrt{2x-3}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{3x-6}}+\left(x-2\right)-\dfrac{2\left(x-2\right)}{\sqrt{2x-3}+1}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x-6}}-\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\\dfrac{3}{\sqrt{3x-6}}-\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(x>2\Leftrightarrow-\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1}>-\dfrac{2}{1+1}=-1\left(3x-6\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1\right)>0-1+1=0\left(vn\right)\)

Vậy \(x=2\)

\(2,ĐK:x\ge-1\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\\\sqrt{x^2-x+1}=b\end{matrix}\right.\left(a,b\ge0\right)\Leftrightarrow a^2+b^2=x^2+2\)

\(PT\Leftrightarrow2a^2+2b^2-5ab=0\\ \Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(2a-b\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\b=2a\end{matrix}\right.\)

Với \(a=2b\Leftrightarrow x+1=4x^2-4x+4\left(vn\right)\)

Với \(b=2a\Leftrightarrow4x+4=x^2-x+1\Leftrightarrow x^2-5x-3=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5+\sqrt{37}}{2}\left(tm\right)\\x=\dfrac{5-\sqrt{37}}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

Các số được điền vào các ô theo thứ tự từ trái sang phải là:

-1; - \(\dfrac{1}{3}\);  \(\dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{4}{3}\)

1) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot10=6\cdot8=48\)

hay AH=4,8(cm)