1

lỗi r

why

Đa thức \(g\left(x\right)=x^2+x-6\)có nghiệm \(\Leftrightarrow x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-3x-6=0\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-2\end{cases}}\)

Để đa thức f(x) = x³+ax²-bx+12 chia hết cho g(x) = x²+x-6 thì 3 và -2 cũng là hai nghiệm của đa thức x³+ax²-bx+12

Nếu x = 3 thì \(f\left(3\right)=27+9a-3b+12=0\)

\(\Leftrightarrow9a-3b=-39\Leftrightarrow3a-b=-13\)(1)

Nếu x = -2 thì \(f\left(-2\right)=-8+4a+2b+12=0\)

\(\Leftrightarrow4a+2b=-4\Leftrightarrow2a+b=-2\)(2)

Lấy (1) + (2), ta được: \(5a=-15\Leftrightarrow a=-3\)

\(\Rightarrow b=-2+3.2=4\)

Vậy a= -3; b = 4

x^2+1 x^3+ax^2+bx-2 x+a x^3 +x ax^2+(b-1)x-2 ax^2 +a (b-1)x -(a+2)

Để f(x) = x³+ax²+bx-2 chia hết cho g(x) =x²+1 thì \(\left(b-1\right)x-\left(a+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b-1=0\\a+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=-2\end{cases}}\)

f(x) = ax² + bx + c.

Từ f(1) = f(-1) suy ra b = 0.

Do đó f(x) = ax² + c, thỏa mãn f(x) = f(-x)

f(x) = ax² + bx + c

f(1) = a + b + c

f(-1) = a - b + c

Vì f(1) = f(-1) 

=> a + b + c = a - b + c

=> b = -b

=> 2b = 0

=> b = 0

Vậy f(x) = ax² + bx + c = ax² + c

f(-x) = a(-x)² + 0 + c = ax² + c

=> f(x) = f(-x) 

Lời giải:

Ta có: \(f(x)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x+3)=a(x+3)^2+b(x+3)+c\\ f(x+2)=a(x+2)^2+b(x+2)+c\\ f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c\\ f(x)=ax^2+bx+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)\)

\(=[f(x+3)-f(x)]-3[f(x+2)-f(x+1)]\)

Có:

\(f(x+3)-f(x)=a(x+3)^2+b(x+3)+c-[ax^2+bx+c]\)

\(=a[(x+3)^2-x^2]+b(x+3-x)\)

\(=3a(2x+3)+3b(1)\)

Và: \(f(x+2)-f(x+1)=a[(x+2)^2-(x+1)^2]+b[(x+2)-(x+1)]\)

\(=a(2x+3)+b\)

\(\Rightarrow 3[f(x+2)-f(x+1)]=3a(2x+3)+3b(2)\)

Từ (1)(2) suy ra:

\(f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)=3a(2x+3)+3b-[3a(2x+3)+3b]=0\)