Vì $abc\ne0$ nên từ $a+b+c=\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c$

suy ra $abc(a+b+c)=ab+bc+ca$.

Xét hiệu hai vế cần chứng minh:

$b(a^2-bc)(1-ac)-a(1-bc)(b^2-ac)$

$=-(a-b)\left[abc(a+b+c)-(ab+bc+ca)\right]$

$=-(a-b)\cdot0$

$=0$

Suy ra $\boxed{b(a^2-bc)(1-ac)=a(1-bc)(b^2-ac)}$

Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$

$\Rightarrow 2(ab+bc+ca)=0$

$\Rightarrow ab+bc+ca=0$

Ta có $\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}
=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^3b^3c^3}$

Mà $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-3a^2b^2c^2$

$=(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c))$

$=0$

Do đó $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2$

Suy ra $\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}$

$=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^3b^3c^3}$

$=\boxed{\dfrac3{abc}}$

ta có\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\left(vìa+b+c\ne0\right)\)

ta có:a/b=1 mà a=3 suy ra b=3

        b/c=1 mà b=3 suy ra c=3

khi đó:a.b.c=3.3.3=27

Theo tính chất dãy tỉ số= nhau:

a/b=b/c=c/a=(a+b+c)/(b+c+a)=1

<=>a=b=c

Mà a=3

=>a=b=c=3

=>a.b.c=27

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\) ( áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=1\\\frac{b}{c}=1\\\frac{c}{a}=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

Mà \(a=2012\Rightarrow b=c=2012\)

\(\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a+b-c}{a-b-c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b-c+2c}{a+b-c}=\frac{a-b-c+2b}{a-b-c}\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{2c}{a+b-c}=1+\frac{2b}{a-b-c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2c}{a+b-c}=\frac{2b}{a-b-c}\)

Đến đây mình trịu

chỉ biết C = 0 thôi

$\dfrac{x-b-c}{a}+\dfrac{x-c-a}{b}+\dfrac{x-a-b}{c}=3$

$\Leftrightarrow x\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)-\left(\dfrac ba+\dfrac ca+\dfrac cb+\dfrac ab+\dfrac ac+\dfrac bc\right)=3$

$\Leftrightarrow x\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)=3+\dfrac ba+\dfrac ca+\dfrac cb+\dfrac ab+\dfrac ac+\dfrac bc$

$\Leftrightarrow x\cdot\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{3abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2}{abc}$

$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=3abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2$

$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=3abc+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

$\Leftrightarrow x(ab+bc+ca)=(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow x=a+b+c$

$\boxed{x=a+b+c}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)(vì a+b+c khác 0)

=> a=b;b=c;c=a

=> a=b=c Mà a=3

=> a.b.c=27

Vậy a.b.c=27

a =b =c = 3

=> a.b.c = 27