Bài 1:

xy+2x-3y=1

=>x(y+2)-3y-6=1-6

=>x(y+2)-3(y+2)=-5

=>(x-3)(y+2)=-5

=>(x-3;y+2)∈{(1;-5);(-5;1);(-1;5);(5;-1)}

=>(x;y)∈{(4;-7);(-2;-1);(2;3);(8;-3)}

Bài 1:

xy+2x-3y=1

=>x(y+2)-3y-6=1-6

=>x(y+2)-3(y+2)=-5

=>(x-3)(y+2)=-5

=>(x-3;y+2)∈{(1;-5);(-5;1);(-1;5);(5;-1)}

=>(x;y)∈{(4;-7);(-2;-1);(2;3);(8;-3)}

Vì \(x^y+1=z\Rightarrow z>x,y\Rightarrow z\) lẻ

Xét \(x\) lẻ \(\Rightarrow x^y+1\) chẵn \(\Rightarrow\) vô lý \(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2\Rightarrow2^y+1=z\)

Xét \(y=2\Rightarrow z=5\Rightarrow\) thỏa

Xét \(y>2\Rightarrow y\) lẻ \(\Rightarrow y=2k+1\Rightarrow2^{2k+1}+1=z\Rightarrow4^k.2+1=z\)

Vì 4 chia 3 dư 1 \(\Rightarrow4^k\) cũng chia 3 dư 1

\(\Rightarrow4^k.2+1⋮3\Rightarrow z=3\Rightarrow2^y=2\Rightarrow y=1\) (vô lý)

Vậy bộ (x,y,z) thỏa là (2,2,5)

Ta có x, y nguyên tố và x^y + 1 = z

=> z > 3

Mà z là số nguyên tố

=> z lẻ => x^y chẵn => x = 2

Xét y = 2 => z = 5 (thỏa mãn)

Xét y > 2:

Đặt y = 2k +1 (\(k\in N\) *)

=> 2^2k+1 + 1 = z

=> 2.4^k + 1 = z

Có \(4^k\equiv1\left(mod3\right)\) => 2.4^k + 1 chia hết cho 3

=> z chia hết cho 3 (loại)

KL x = 2, y = 2, z = 5
 

\(xy+yz+zx=8xyz\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=8\)

\(\Rightarrow\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}=64\)

Ta có: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\)

\(=\left(\dfrac{1}{x}+...+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+...+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{z}+...+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

(sau dấu chấm là bốn số tương tự).

\(\ge^{Cauchy-Schwarz}\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)

\(\Rightarrow64\ge\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{6x+y+z}+\dfrac{1}{6y+z+x}+\dfrac{1}{6z+x+y}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{8}\)

Vậy \(Max\) của biểu thức đã cho là 1.

a: \(x^2+y^2(x-y+1)-\left(x-1\right)\cdot y=22\)

=>\(x^2 + y^2(x - y + 1) - xy + y = 22\)

=>\(x^2-xy+y^2(x-y+1)+y=22\)

=>\(x(x-y+1)-x+y^2(x-y+1)+y=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y)=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y+1)+1=22\)

=>\((x-y+1)(x+y^2-1)=21\)

TH1: \(\begin{cases}x-y+1=1\\ x+y^2-1=21\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=y\\ y+y^2-1=21\end{cases}\iff y^2+y-22=0\)

=>\(y^2+y+\frac14-\frac{89}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2=\frac{89}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}y+\frac12=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ y+\frac12=-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\\ y=\frac{-\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

=>Loại

TH2: \(\begin{cases}x-y+1=21\\ x+y^2-1=1\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+20\\ (y+20)+y^2-1=1\end{cases}\iff y^2+y+18=0\)

=>\(y^2+y+\frac14+\frac{71}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2+\frac{71}{4}=0\) (vô lý)

=>Loại

TH3: \(\begin{cases}x-y+1=3\\ x+y^2-1=7\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+2\\ (y+2)+y^2-1=7\end{cases}\iff y^2+y-6=0\)

=>(y+3)(y-2)=0

=>y=-3 hoặc y=2

Nếu y=-3 thì x-y+1=3

=>x-y=2

=>x-(-3)=2

=>x+3=2

=>x=-1

Nếu y=2 thì x-y+1=3

=>x-2+1=3

=>x-1=3

=>x=4

TH4: \(\begin{cases}x-y+1=7\\ x+y^2-1=3\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+6\\ (y+6)+y^2-1=3\end{cases}\iff y^2+y+2=0\)

=>y∈∅

=>Loại