Giải bất phương trình:\(\sqrt[3]{3-x}\ge1-\sqrt{x-2}\) \(\left(x\in R\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 10 2020
ĐK: \(x\ge0\)
Với \(x\ge0\Rightarrow\sqrt{\left(x+1\right)^3}-\sqrt{x}>0\)nên bpt \(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x+2\right)}\ge\sqrt{\left(x+1\right)^3}-\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x\ge x^3+3x^2+4x+1-2\left(x+1\right)\sqrt{x\left(x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+2x+1-2\left(x+1\right)\sqrt{x\left(x+1\right)}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[x^2+x+1-2\sqrt{x\left(x+1\right)}\right]\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+1-2\sqrt{x\left(x+1\right)}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x\left(x+1\right)}-1\right)^2\le0\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x+1\right)}-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.dox\ge0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021
Bài 1:
Vì $a\geq 1$ nên:
\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)
\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021
Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$
Xét hàm:
\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)
\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)
Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ
\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất
Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.
GB
Giải bất phương trình: \(\left|x^2-\sqrt{x-3}\right|< \left|x^2-2\right|+\left|2-\sqrt{x-3}\right|\)
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2021
Lời giải:ĐK: $x>3$
Ta có BĐT quen thuộc: $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$
Do đó:
$|x^2-2|+|2-\sqrt{x-3}|\geq |x^2-2+2-\sqrt{x-3}|=|x^2-\sqrt{x-3}|$
Dấu "=" xảy ra khi:
$(x^2-2)(2-\sqrt{x-3})\geq 0$
$\Leftrightarrow 2-\sqrt{x-3}\geq 0$ (do $x>3$)
$\Leftrightarrow x< 7$
Vậy $7>x> 3$ thì dấu "=" xảy ra. Nghĩa là nghiệm của BPT là
$[7;+\infty)\cup (-\infty;3]$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2021
Lời giải:ĐK: $x>3$
Ta có BĐT quen thuộc: $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$
Do đó:
$|x^2-2|+|2-\sqrt{x-3}|\geq |x^2-2+2-\sqrt{x-3}|=|x^2-\sqrt{x-3}|$
Dấu "=" xảy ra khi:
$(x^2-2)(2-\sqrt{x-3})\geq 0$
$\Leftrightarrow 2-\sqrt{x-3}\geq 0$ (do $x>3$)
$\Leftrightarrow x< 7$
Vậy $7>x> 3$ thì dấu "=" xảy ra. Nghĩa là nghiệm của BPT là
$[7;+\infty)\cup (-\infty;3]$
HD
1
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
5 tháng 9
ĐKXĐ: \(\begin{cases}2-x>0\\ \left|x+1\right|-3<>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<2\\ \left|x+1\right|<>3\end{cases}\)
=>x<2 và x+1∉{3;-3}
=>x<2 và x∉{2;-4}
=>x<2 và x<>-4
8 tháng 5 2021
a, ĐKXĐ : \(\left[{}\begin{matrix}x\le-3\\x\ge0\end{matrix}\right.\)
TH1 : \(x\le-3\) ( LĐ )
TH2 : \(x\ge0\)
BPT \(\Leftrightarrow x^2+2x+x^2+3x+2\sqrt{\left(x^2+2x\right)\left(x^2+3x\right)}\ge4x^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x\right)\left(x^2+3x\right)}\ge x^2-\dfrac{5}{2}x\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\ge2x-5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< \dfrac{5}{2}\\x\ge-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{5}{2}\\4x^2+20x+24\ge4x^2-20x+25\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le x< \dfrac{5}{2}\\x\ge\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x\ge0\)
Vậy \(S=R/\left(-3;0\right)\)
28 tháng 2 2021
Do \(x^6-x^3+x^2-x+1=\left(x^3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\) ; \(\forall x\) nên BPT tương đương:
\(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}\le\sqrt{26}\) (1)
Ta có:
\(VT=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(2-2x\right)^2+2^2}\ge\sqrt{\left(2x-1+2-2x\right)^2+\left(3+2\right)^2}=\sqrt{26}\) (2)
\(\Rightarrow\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}=\sqrt{26}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2\left(2x-1\right)=3\left(2-2x\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}\)
Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{4}{5}\)
ĐKXĐ: x>=2
Ta có: \(\sqrt[3]{3-x} \ge 1 - \sqrt{x-2}\)
=>\(\sqrt[3]{3-x} + \sqrt{x-2} \ge 1\)
Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{3-x}+\sqrt{x-2}\)
Xét hàm số f(x) trên txđ [2;+∞)
\(f(2) = \sqrt[3]{3-2} + \sqrt{2-2} = 1 + 0 = 1\)
Khi x>2 thì ta có:
hàm số \(g(x) = \sqrt[3]{3-x}\) nghịch biến trên R vì 3-x giảm khi x tăng
Hàm số \(h(x) = \sqrt{x-2}\) đồng biến khi x>2
\(f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x-2}}\)
TH1: 2<=x<=3
2<=x<=3
=>0<=x-2<=1
=>\(\sqrt{x-2}\le1\)
=>\(\frac{1}{2\sqrt{x-2}}\ge\frac12\)
2<=x<=3
=>-2>=-x>=-3
=>-2+3>=-x+3>=-3+3
=>0<=-x+3<=1
=>\(\left(3-x\right)^2\le1\)
=>\(3\sqrt[3]{(3-x)^2}\le3\implies\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}\ge\frac{1}{3}\)
Khi x=3 thì \(f(3) = \sqrt[3]{0} + \sqrt{1} = 1 \ge 1\)
f(2)=1; f(3)=1
x>=2
=>x-2>=0
=>\(\sqrt{x-2}\ge0\)
x<=3
=>x-3<=0
=>3-x>=0
=>\(\sqrt[3]{3-x}\ge0\)
Đặt \(a=\sqrt[3]{3-x}\ge0;b=\sqrt{x-2}\ge0\)
=>\(a^3+b^2=3-x+x-2=1\)
Ta có: \(0\le a\le1;0\le b\le1\)
=>\(a\ge a^3;b\ge b^2\)
=>\(a+b\ge a^3+b^2=1\)
=>f(x)>=1∀x∈[2;3](1)
TH2: x>3
x>3
=>x-2>1
=>\(\sqrt{x-2}>1\)
x>3
=>3-x<0
=>\(\sqrt[3]{3-x}<0\)
Đặt t=x-3(Điều kiện: t>0)
=>x-2=t+1
Khi x=11 thì t=11-3=8
\(f(11) = \sqrt[3]{3-11} + \sqrt{11-2} = \sqrt[3]{-8} + \sqrt{9} = -2 + 3 = 1\)
Xét phương trình f(x)=1 trên khoảng (3;+∞)
\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-x)^2}}=0\)
=>\(3\sqrt[3]{(x-3)^2}=2\sqrt{x-2}\)
=>f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm trên khoảng (3;+∞)
Vì f'(x) đổi dấu đúng một lần nên f(x) đạt cực đại trên khoảng (3;+∞)
f(3)=1; f(11)=1
=>f(x)>1 trên khoảng (3;11]
Với x>11 thì f(x)>1
Do đó: Khi 3<x<=11 thì f(x)>=1(2)
Từ (1),(2) suy ra f(x)>=1 khi 2<=x<=11