Xét hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^{2022}+3x+16}{x^{2021}-x+11}\), ta cần cm

 \(f\left(x\right)\ge x\) (*)

Thật vậy, (*) \(\Leftrightarrow x^{2022}+3x+16\ge x^{2022}-x^2+11x\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+16\ge0\)

 \(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(f\left(x\right)\ge x,\forall x\)

\(\Rightarrow u_{n+1}=f\left(u_n\right)\ge u_n\) nên \(\left(u_n\right)\) là dãy tăng.

\(u_{n+1}=\dfrac{n\left(u_n+2\right)+n^2+1}{n+1}\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}=nu_n+n^2+2n+1\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}-\dfrac{1}{3}\left(n+1\right)^3-\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2-\dfrac{1}{6}\left(n+1\right)=n.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\)

Đặt \(v_n=u.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=0\\v_{n+1}=v_n=...=v_1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n=0\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{3}n^2+\dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{6}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

a: \(2u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\)

=>\(u_{n+2}-u_{n+1}=-\frac{1}{2}(u_{n+1}-u_{n})\)

Đặt \(d_n = u_{n+1} - u_n\) . Ta sẽ có \(\left(d_{n}\right)\) là cấp số nhân với:

Số hạng đầu là \(d_1 = u_2 - u_1 = 1 - 0 = 1\)

Công bội là q=-1/2

Số hạng tổng quát là:

\(d_n = d_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Với n=1 thì ta có;

\(VT=1;VP=-\frac12\cdot u_1+1=-\frac12\cdot0+1=1\)

=>VT=VP

=>Đẳng thức \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\) đúng khi n=1

Giả sử đẳng thức \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\) đúng với n=k>1, tức \(u_{k+1} = -\frac{1}{2}u_k + 1\)

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1, hay \(u_{k+2} = -\frac{1}{2}u_{k+1} + 1\)

TA có: \(2u_{k+2} = u_{k+1} + u_k\)

=>\(u_{k+2} = \frac{1}{2}u_{k+1} + \frac{1}{2}u_k\)

=>\(u_{k+2} = \frac{1}{2}u_{k+1} + \frac{1}{2} \cdot \left[-2(u_{k+1} - 1)\right] = \frac{1}{2}u_{k+1} - u_{k+1} + 1 = -\frac{1}{2}u_{k+1} + 1\)

=>ĐPCM

b: \(v_n = u_n - \frac{2}{3}\)

=>\(v_{n+1} = u_{n+1} - \frac{2}{3}\)

mà \(u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1\)

nên \(v_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 1 - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2}u_n + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\left(u_n - \frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{2}v_n\)

=>\(\left(v_{n}\right)\) là cấp số nhân có:

Số hạng đầu \(v_1=u_1-\frac23=0-\frac23=-\frac23\)

Công bội là q=-1/2

Số hạng tổng quát là:

\(v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = -\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

\(\lim u_n = \lim \left[-\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \frac{2}{3}\right] = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)

a) Để chứng minh rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước cơ sở: Ta thấy rằng u1 = 2 > 1.

Bước giả sử: Giả sử đúng đối với một số nguyên k ≥ 1, tức là uk > 1.

Bước bước: Ta sẽ chứng minh rằng uk+1 > 1. Từ công thức cho dãy (Un), ta có:

uk+1 = uk-2015 + uk + 1/uk - uk + 3

Vì uk > 1 (theo giả thiết giả sử), ta có uk - 2015 > 0 và uk + 3 > 0. Do đó, uk+1 > 0.

Vì vậy, ta có uk+1 > 1, và đẳng thức này đúng đối với mọi số nguyên k ≥ 1.

Do đó, ta chứng minh được rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng.

b) Để tính limn∑i=11uk - i + 2, ta có thể sử dụng định nghĩa của dãy (Un) và công thức tổng của dãy số aritmeti.

Từ công thức cho dãy (Un), ta có:

uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i

Vì Un là dãy tăng, ta có thể viết lại công thức trên như sau:

uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i

= (uk+1 - 2015 + uk + 1) - (uk - 2015 + uk) + (uk+1 - uk)

= 2uk+1 - 2uk + 2015

Do đó, ta có thể viết lại tổng như sau:

∑i=11uk - i + 2 = 2∑i=11uk+1 - 2∑i=11uk + 2015∑i=1

= 2(u12 - u2) + 2015(12)

Với giá trị cụ thể của u12 và u2, ta có thể tính được tổng trên.

\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{u_n}\)

Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=2v_n+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(v_n+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(v_n+\dfrac{1}{2}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 2 \(\Rightarrow x_n=\dfrac{3}{2}.2^{n-1}=3.2^{n-2}\)

\(\Leftrightarrow v_n=x_n-\dfrac{1}{2}=3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{3.2^{n-2}-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3.2^{n-1}-1}\)

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=2u_n+6\end{matrix}\right.\)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau