\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot\left(m+1\right)\cdot m\)

\(=4m^2-4m+4-4m^2-4m\)

\(=-8m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\-8m+4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-8m>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)

a, Thay m vào pt ta được :

(3+1).x²-2(3+1).x+3-3=0

\(\Leftrightarrow\)4x²-8x=0

\(\Leftrightarrow4x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy m=3 phương trình có 2 nghiệm là 0 và 2

b, Theo Vi et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+1}\end{matrix}\right.\left(vớim\ne-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_1+x_2=2\end{matrix}\right.\)  (1)

Ta có : (4x₁+1)(4x₂+1)=18

\(\Leftrightarrow16x_1.x_2+4x_1+4x_2+1=18\)

\(\Leftrightarrow16.x_1.x_2+4\left(x_1+x_2\right)=17\)  (2)

Thay (1) vào (2) ta được : 

         16.\(\dfrac{m-3}{m+1}+4.2=17\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{16m-48}{m+1}=9\)

\(\Leftrightarrow9\left(m+1\right)=16m-48\)

\(\Leftrightarrow9m+9=16m-48\)

\(\Leftrightarrow7m=57\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{57}{7}\) (thỏa mãn m\(\ne-1\))

Vậy ..

Ta có: \(\vert{}x^2 - 3x - 3 + m\vert{} = x + 1\) (*)

=>\(\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} &x^2 - 3x - 3 + m = x + 1 \\ &x^2 - 3x - 3 + m = -(x + 1) \end{aligned} \right. \end{cases}\)

\(\iff\begin{cases}x\ge-1\\ \left[\begin{aligned} & m=-x^2+4x+4\quad(1)\\ & m=-x^2+2x+2\quad(2)\end{aligned}\right.\end{cases}\)

Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì tổng số nghiệm x>=-1 của (1) và (2) phải đúng bằng 3

(1): \(m = -x^2 + 4x + 4\)

Xét hàm số \(f(x) = -x^2 + 4x + 4\) với x>=-1

Tọa độ đỉnh là: \(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac42=2\\ y=-2^2+4\cdot2+4=-4+4+8=8\end{cases}\)

\(f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 4 = -1\)

(2): \(m=-x^2+2x+2\)

Xét hàm số \(g(x) = -x^2 + 2x + 2\) , với x>=-1

Tọa độ đỉnh là: \(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1\\ y=-1^2+2\cdot1+2=-1+2+2=3\end{cases}\)

\(g(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1\)

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của đường thẳng y=m với (P1): y=-x^2+4x+4 và (P2): y=-x^2+2x+2

TH1: m>8

Theo hình vẽ, ta thấy khi m>8 thì đường thẳng y=m nằm hoàn toàn phía trên cả hai đỉnh parabol (đỉnh cao nhất là 8).

=>(*) vô nghiệm

=>Loại

TH2: m=8

Khi đó, đường thẳng y=m=8 chỉ cắt đúng đỉnh của (P1) và nằm hoàn toàn phía trên của (P2)

=>(*) có duy nhất 1 nghiệm

=>Loại

TH3: 3<m<8

Khi đó, đường thẳng y=m nằm dưới đỉnh của (P1) và nằm phía trên của (P2)

=>(*) có 2 nghiệm

=>Loại

TH4: m=3

Đường thẳng y=m=3 đi qua đỉnh của (P2) và cắt ngang qua (P1), tức sẽ có 2+1=3 nghiệm

=>Nhận

TH5: -1<m<3

=>Đường thẳng y = m cắt ngang qua cả hai parabol ở vùng phía trên điểm biên -1

=>(*) có 2+2=4 nghiệm

=>Loại

TH6: m=-1

=>Đường thẳng y=-1 đi qua đúng điểm biên bắt đầu của cả hai đồ thị (điểm chung duy nhất là điểm A(-1;-1)

(1) khi đó sẽ trở thành: \(-x^2+4x+4=-1\)

=>\(-x^2+4x+5=0\)

=>\(x^2-4x-5=0\)

=>(x-5)(x+1)=0

=>x=5 hoặc x=-1

(2) khi đó sẽ trở thành: \(-x^2+2x+2=-1\)

=>\(-x^2+2x+3=0\)

=>\(x^2-2x-3=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>x=3 hoặc x=-1

Do đó: (*) có 3 nghiệm phân biệt x∈{5;-1;3}

=>Nhận

TH7: m<-1

=>Đường thẳng y=m sẽ nằm hoàn toàn ở phía dưới điểm biên A(-1;-1)

Khi đó, y=m chỉ có thể cắt (P1) và (P2) tại tối đa 2 điểm ở hai đồ thị

=>(*) chỉ có thể có tối đa 2 nghiệm

=>Loại

cái này tínhd đen ta r áp dụng hệ thức vi ét 

cái biêủ thức đề bài biến đổi để kết hợp với pt tổng trong Viet ra hệ pt tìm ra x1 x2 ròi that vào pt tích trong viet

a) PT có nghiệm kép nếu

\(\hept{\begin{cases}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2+m\left(m-1\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne1\\\left(m-1\right)\left(2m-1\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow}m=\frac{1}{2}}\)

Vậy \(m=\frac{1}{2}\)thì pt có nghiệm kép

\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{2\left(m-1\right)}{2\left(m-1\right)}=-1\)

b) Để pt có nghiệm phân biệt đều âm thì

\(\hept{\begin{cases}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-1\right)\left(2m-1\right)>0\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x_1\cdot x_2=-\frac{m}{m-1}>0\\x_1+x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m-1}< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m>1\\m< \frac{1}{2}\end{cases}}\)và \(0< m< 1\)

Vậy 0<m<\(\frac{1}{2}\)

định gõ ấn f5 cái thì thấy bạn làm xong r :(( 

giải nhanh quá ! 

b) phương trình có 2 nghiệm  \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le1\)

Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)

a. Khi m=2 thì  (1) có dạng :

\(x^2-6\left(2-1\right)x+9\left(2-3\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2-6x-9=0\\ \Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=18\Leftrightarrow x-3=\pm\sqrt{18}\\ \Leftrightarrow x=3\pm3\sqrt{2}\)

Vậy với m=2 thì tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{3\pm3\sqrt{2}\right\}\)

b. Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x , ta có:

\(\text{Δ}'=\left(-3m+3\right)^2-1\cdot9\left(m-3\right)=9m^2-18m+9-9m+27\\ =9m^2-27m+36=\left(3m-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{63}{4}>0\)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\left(m-1\right)\\x_1x_2=9\left(m-3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

Vì

 \(x_1+x_2=2x_1x_2\\ \Leftrightarrow6\left(m-1\right)=18\left(m-3\right)\Leftrightarrow m-1=3m-9\\ \Leftrightarrow2m=8\Leftrightarrow m=4\)

Vậy m=4

b) Ta có: \(\text{Δ}=\left[-6\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot9\left(m-3\right)\)

\(=\left(6m-6\right)^2-36\left(m-3\right)\)

\(=36m^2-72m+36-36m+108\)

\(=36m^2-108m+144\)

\(=\left(6m\right)^2-2\cdot6m\cdot9+81+63\)

\(=\left(6m-9\right)^2+63>0\forall m\)

Suy ra: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\left(m-1\right)=6m-6\\x_1\cdot x_2=9\left(m-3\right)=9m-27\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1+x_2=2x_1\cdot x_2\)

\(\Leftrightarrow6m-6=2\left(9m-27\right)\)

\(\Leftrightarrow6m-6-18m+54=0\)

\(\Leftrightarrow-12m+48=0\)

\(\Leftrightarrow-12m=-48\)

hay m=4

Vậy: m=4