hơi khó nhìn 1 chút nha

ĐKXĐ: -5<=x<=3

Đặt \(t=\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}\) (ĐK: t>=0)

=>\(t^2=x+5+3-x+2\cdot\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}=8+2\cdot\sqrt{3x-x^2+15-5x}\)

=>\(t^2-8=2\cdot\sqrt{-x^2-2x+15}\)

=>\(\sqrt{-x^2-2x+15}=\frac{t^2-8}{2}\)

\(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}-2\left(\sqrt{15-2x-x^2}+1\right)=0\)

=>\(t-2\cdot\left(\frac{t^2-8}{2}+1\right)=0\)

=>\(t-\left(t^2-8\right)-2=0\)

=>\(t-t^2+8-2=0\)

=>\(-t^2+t+6=0\)

=>\(t^2-t-6=0\)

=>(t-3)(t+2)=0

=>t=3(nhận) hoặc t=-2(loại)

t=3

\(\sqrt{-x^2-2x+15}=\frac{t^2-8}{2}\)

=>\(\sqrt{-x^2-2x+15}=\frac{t^2-8}{2}=\frac{3^2-8}{2}=\frac{9-8}{2}=\frac12\)

=>\(-x^2-2x+15=\frac14\)

=>\(4x^2+8x-59=0\)

=>\(4x^2+8x+4-63=0\)

=>\(\left(2x+2\right)^2=63\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x+2=3\sqrt7\\ 2x+2=-3\sqrt7\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=3\sqrt7-2\\ 2x=-3\sqrt7-2\end{array}\right.\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{3\sqrt7-2}{2}\left(nhận\right)\\ x=\frac{-3\sqrt7-2}{2}\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Em thử nha,sai thì thôi ạ.

2/ ĐK: \(-2\le x\le2\)

PT \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+4}-\sqrt{8-4x}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\)

Nhân liên hợp zô: với chú ý rằng \(\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}>0\) với mọi x thỏa mãn đk

PT \(\Leftrightarrow\frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}-\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6x-4\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)=0\)

Tới đây thì em chịu chỗ xử lí cái ngoặc to rồi..

1.\(\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)=2x\)

ĐK \(x\ge-1\)

Nhân liên hợp ta có

\(\left(x+3-x-1\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)=2x\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)\)

<=>\(x^2+\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=x\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)\)

<=> \(\left(x^2-x\sqrt{x+3}\right)+\left(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-x\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=> \(\left(x-\sqrt{x+3}\right)\left(x-\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{x+3}\\x=\sqrt{x+1}\end{cases}}\)

=> \(x\in\left\{\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

1)\(\sqrt{9\left(x-1\right)}=21\Leftrightarrow3\sqrt{x-1}=21\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}7\ge0\\x-1=49\end{cases}\Leftrightarrow x=50}\)

no no no

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)