\(x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-2\left(x+y\right)+1-4y^2-8y-4+7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1-\left(2y+2\right)^2+7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2-\left(2y+2\right)^2=-7\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-3\right)\left(x+3y+1\right)=-7\)

Từ đó tìm ước và tính.

\(x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1-\left(4y^2+8y+4\right)+7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2-\left(2y+2\right)^2=-7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1+2y+2\right)\left(x+y-1-2y-2\right)=-7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3y+1\right)\left(x-y-3\right)=-7\)

Sau đó bạn lập luận \(x;y\in Z\)rồi tự làm nhé

=> (x² + 2xy + y²) - 2x  - 10y - 4y² + 4 = 0

<=> (x+y)² - 2.(x+y) + 1 - (4y² + 8y + 4) + 7 = 0

<=> (x+ y - 1)² - (2y + 2)²  =  -7

<=> (x + y - 1 + 2y + 2).(x + y - 1 - 2y - 2) = -7

<=> (x + 3y + 1).(x - y - 3) = -7

Vì x; y nguyên nên x + 3y + 1 \(\in\) Ư(-7) = {7;-7;1;-1} .Hơn nữa; x; y dương nên x + 3y + 1 > 1

=> x + 3y + 1 = 7 

=> x - y  - 3 = -1

=> (x+3y+1) - (x - y - 3) = 4y + 4 = 8 => y = 1 

=> x = 7 - 1 - 3y = 3

Vậy x = 3; y = 1

Coi phương trình bậc 2 ẩn x tham số y ta có :

x^2+2(y-1)x-(3y^2+10y-4)=0

Để phương trình nghiệm  nguyên x thì điều kiện cần là phải là số chính phương 

Ta có := (y-1)^2+3y^2+10y-4=4y^2+8y-3=k^2(k thuộc N)

=>(2y+2)^2-k^2=7

<=>(2y+2-k)(2y+2+k)=(-7)(-1)=1.7

Vì 2y+2+k > 2y +2-k nên ta có bảng sau:

Voi y =  1 ta co :x^2+2(y-1)x-(3y^2+10y-4)=0

Trở thành:x^2 - 9=0=>x=3;x=-3

Vấp pt đã cho ở 2 nghiệm nguyên là (3;1) và (-3;1)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2xy-3y^2=-4\left(1\right)\\2x^2+xy+4y^2=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)\(với\)\(y=0\Rightarrow hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=-4\\2x^2=5\end{matrix}\right.\)\(\left(loại\right)\)

\(y\ne0\) \(đặt:x=t.y\Rightarrow hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t^2y^2+2ty^2-3y^2=-4\left(3\right)\\2t^2y^2+ty^2+4y^2=5\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow5t^2y^2+10ty^2-15y^2=-8t^2y^2-4ty^2-16y^2\)

\(\Leftrightarrow13t^2y^2+14ty^2+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow13t^2+14t+1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-\dfrac{1}{13}\\t=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{13}y\left(5\right)\\x=-y\left(6\right)\end{matrix}\right.\)

\(thay\left(5\right)và\left(6\right)\) \(lên\left(1\right)hoặc\left(2\right)\Rightarrow\left(x;y\right)=\left\{\left(1;-1\right);\left(-1;1\right);\left(-\dfrac{1}{\sqrt{133}};\dfrac{13}{\sqrt{133}}\right)\right\}\)

\(pt:x^4-4x^3+x^2+6x+m+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+4x^2-3x^2+6x+m+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)^2-3\left(x^2-2x\right)+m+2=0\left(1\right)\)

\(đặt:x^2-2x=t\ge-1\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow t^2-3t=-m-2\)

\(xét:f\left(t\right)=t^2-3t\) \(trên[-1;+\text{∞})\) \(và:y=-m-2\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right)=4\)

\(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{9}{4}\)

\(\left(1\right)\) \(có\) \(3\) \(ngo\) \(pb\Leftrightarrow-m-2=4\Leftrightarrow m=-6\)