A(x;y); B(-1;3); C(3;1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-x;3-y\right);\overrightarrow{AC}=\left(3-x;1-y\right)\)

ΔABC vuông cân tại A

=>AB=AC và AB⊥AC

=>\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) và \(\left(-1-x\right)^2+\left(3-y\right)^2=\left(3-x\right)^2+\left(1-y\right)^2\)

=>(-1-x)(3-x)+(3-y)(1-y)=0 và \(x^2+2x+1+y^2-6y+9=x^2-6x+9+y^2-2y+1\)

=>\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)+\left(y-3\right)\left(y-1\right)=0\) và 2x-6y+10=-6x-2y+10

=>\(x^2-2x-3+y^2-4y+3=0\) và 8x=4y

=>y=2x và \(x^2-2x+y^2-4y=0\)

=>y=2x và \(x^2-2x+4x^2-4\cdot2x=0\)

=>y=2x và \(5x^2-10x=0\)

=>5x(x-2)=0 và y=2x

=>x∈{0;2} và y=2x

x=0

=>y=2x=0

x=2

=>y=2x=4

=>A(0;0); A(2;4)

Xét tứ giác APBQ có

M là trung điểm chung của AB và PQ

=>APBQ là hình bình hành

Hình bình hành APBQ có AB⊥PQ

nên APBQ là hình thoi

XÉT\(\Delta OMN\)VÀ \(\Delta MPO\) CÓ

OM LÀ CẠNH CHUNG

GÓC N= GÓC P =90*

O1=O2 VÌ OM LÀ TIA P/G CỦA GÓC O

=>\(\Delta OMN\)=\(\Delta OPM\)(GCG)

B;VÌ TAM GIÁC OMN=TAM GIÁC OMP 

=>ON=OP (cạnh tương ứng)

c;

còn phần c,d thì sao vậy

Lời giải:

Gọi trung điểm $AC$ là $M$.
Theo định lý cos:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. Mà theo đề thì $a=2c$ nên:

$\frac{-1}{2}=\cos 120^0=\frac{5c^2-b^2}{4c^2}$

$\Rightarrow b^2=7c^2$

Theo định lý đường trung tuyến:

$BM^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{c^2+4c^2}{2}-\frac{7c^2}{4}=\frac{3}{4}c^2$

$AM^2=(\frac{b}{2})^2=\frac{7}{4}c^2$

Từ những số tính toán ở trên suy ra:

$c^2+\frac{3}{4}c^2=\frac{7}{4}c^2\Leftrightarrow AB^2+BM^2=AM^2$ nên theo định lý Pitago đảo thì $ABM$ vuông tại $B$

$\Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{n_{BM}}=(1,1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(1,-1)$

PTĐT $AB$: $(x-3)-(y-1)=0\Leftrightarrow x-y-2=0$

$B$ vừa thuộc đt $x+y-2=0$ vừa thuộc ĐT $x-y-2=0$ nên dễ tính $B(2,0)$
---------------------

Gọi tọa độ $C$ là $(t,t')$ thì tọa độ $M$ là $(\frac{3+t}{2}; \frac{t'+1}{2})$

Vì $M\in (x+y-2=0)$ nên: $\frac{3+t}{2}+\frac{t'+1}{2}=0\Leftrightarrow t'=-t$

Theo đề:

$a=2c\Leftrightarrow a^2=4c^2\Leftrightarrow (t-2)^2+(-t)^2=4[(3-2)^2+(1-0)^2]$

$\Leftrightarrow t=1\pm\sqrt{3}$

Vậy............

ΔABC có G là trọng tâm

=>\(\begin{cases}x_{A}+x_{B}+x_{C}=3\cdot x_{G}\\ y_{A}+y_{B}+y_{C}=3\cdot y_{G}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{C}=3\cdot\left(-2\right)-1-\left(-1\right)=-6-1+1=-6\\ y_{C}=3\cdot\left(-\frac23\right)-1-3=-2-4=-6\end{cases}\)

=>C(-6;-6)

M trên Oy

=>M(0;y)

M(0;y); B(1;3); C(-6;-6)

\(\overrightarrow{MB}=\left(1-0;3-y\right)=\left(1;3-y\right)\)

\(\overrightarrow{MC}=\left(-6-0;-6-y\right)=\left(-6;-6-y\right)\)

ΔMBC vuông tại M

=>\(\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=0\)

=>\(1\cdot\left(-6\right)+\left(3-y\right)\left(-6-y\right)=0\)

=>(y-3)(y+6)-6=0

=>\(y^2+3y-18-6=0\)

=>\(y^2+3y-24=0\) (1)

\(\Delta=3^2-4\cdot1\cdot\left(-24\right)=9+96=105>0\)

Do đó: (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}y=\frac{-3-\sqrt{105}}{2\cdot1}=\frac{-3-\sqrt{105}}{2}\\ y=\frac{-3+\sqrt{105}}{2\cdot1}=\frac{-3+\sqrt{105}}{2}\end{array}\right.\)

=>\(M\left(0;\frac{-3-\sqrt{105}}{2}\right);M\left(0;\frac{-3+\sqrt{105}}{2}\right)\)

câu a sai đề rồi bn

hok tốt

phải là tam giác OMQ = tam giác OPN chứ