Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét \(\left(O_1\right)\) có
ΔAPH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAPH vuông tại P
=>HP⊥AM tại P
Xét \(\left(O_2\right)\) có
ΔHQB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHQB vuông tại Q
=>HQ⊥MB tại Q
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
=>\(\hat{AMB}=90^0\)
xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)
nên MPHQ là hình chữ nhật
b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao
nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)
Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao
nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)
=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)
Xét ΔMPQ vuông tại M và ΔMBA vuông tại M có
\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)
Do đó: ΔMPQ~ΔMBA
c: ΔMPQ~ΔMBA
=>\(\hat{MPQ}=\hat{MBA};\hat{MQP}=\hat{MAB}\)
\(\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}=\hat{AHP}+\hat{HPQ}\)
\(=\hat{AHP}+\hat{HMB}=\hat{MBA}+\hat{HMB}=90^0\)
=>\(PO_1\) ⊥PQ
=>PQ là tiếp tuyến tại P của \(\left(O_1\right)\)
\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{O_2QH}\)
\(=\hat{PMH}+\hat{BHQ}=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)
=>\(QO_2\) ⊥QP tại Q
=>QP là tiếp tuyến tại Q của \(\left(O_2\right)\)
Ta có: AC là tiếp tuyến của (O) (gt)
=) AC vuông góc OA
=) Góc OAC = 90độ (1)
Lại có: DC là tiếp tuyến của (O) (gt)
=) DC vuông góc OD
=) Góc ODC = 90độ (2)
Từ (1) và (2) =) góc ODC + góc OAC = 180 độ
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
=) Tứ giác OACD nội tiếp
b) Dễ thấy C là trực tâm của tam giác IAB nên C, I, H thẳng hàng.
Do tứ giác AICK là hình thang nội tiếp được đường tròn nên là hình thang cân.
Khi đó \(\widehat{IAK}=\widehat{CKA}\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{NBA}\)
Suy ra tam giác NAB vuông cân tại N nên \(\widehat{NBA}=45^o\).
Ta có các tứ giác CMIN, AMIH nội tiếp được nên \(\widehat{NMH}=\widehat{NMI}+\widehat{HMI}=\widehat{ICN}+\widehat{IAB}=45^o+45^o=90^o\Rightarrow MN\perp MH\).
c) Đề phải là \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}\ge6\).
Đặt \(x=\dfrac{IH}{CH};y=\dfrac{IN}{AN};z=\dfrac{IM}{BM}\left(x,y,z< 1\right)\).
Ta có \(x+y+z=\dfrac{S_{IAB}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{IBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{ICA}}{S_{ABC}}=1\).
Lại có \(\dfrac{IH}{CH}=x\Rightarrow\dfrac{CH}{IH}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow\dfrac{IC}{IH}=\dfrac{1}{x}-1\).
Tương tự \(\dfrac{IA}{IN}=\dfrac{1}{y}-1;\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{z}-1\).
Do đó \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-3\ge_{Svacxo}\dfrac{9}{x+y+z}-3=\dfrac{9}{1}-3=6\).
Vậy ta có đpcm.
a: Xét (O) có
CM,CA là tiếp tuyến
nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)
mà OM=OA
nên OC là trung trực của AM
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
mà OM=OB
nên OD là trung trực của BM
Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
c: Xét tứ giác MEOF có
góc MEO=góc MFO=góc EOF=90 độ
nên MEOF là hình chữ nhật
=>EF=MO=R
a: Xét (O1) có
ΔAPH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAPH vuông tại P
=>HP⊥MA tại P
Xét (O2) có
ΔHQB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHQB vuông tại Q
=>HQ⊥MB tại Q
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
Xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)
nên MPHQ là hình chữ nhật
=>MH=PQ
b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao
nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)
Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao
nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)
=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)
Xét ΔMQP vuông tại M và ΔMAB vuông tại M có
\(\frac{MQ}{MA}=\frac{MP}{MB}\)
Do đó: ΔMQP~ΔMAB
c: MPHQ là hình chữ nhật
=>\(\hat{HPQ}=\hat{HMQ}=\hat{HMB}\)
\(\Delta O_1PH\) cân tại O1
=>\(\hat{O_1PH}=\hat{O_1HP}=\hat{PHA}\)
mà \(\hat{PHA}=\hat{MBA}\) (hai góc đồng vị, PH//MB)
nên \(\hat{O_1PH}=\hat{MBA}\)
MPHQ là hình chữ nhật
=>\(\hat{PQH}=\hat{PMH}=\hat{AMH}\)
\(\Delta O_2QH\) cân tại O2
=>\(\hat{O_2QH}=\hat{O_2HQ}=\hat{QHB}\)
mà \(\hat{QHB}=\hat{MAB}\) (hai góc đồng vị, QH//MA)
nên \(\hat{O_2QH}=\hat{MAB}\)
\(\hat{QPO_1}=\hat{QPH}+\hat{HPO_1}\)
\(=\hat{HMB}+\hat{HBM}=90^0\)
=>QP là tiếp tuyến của (O1)
\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{HQO_2}\)
\(=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)
=>PQ là tiếp tuyến của (O2)
a) Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: DM=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: CM+DM=CD(M nằm giữa C và D)
mà CM=CA(cmt)
và DM=DB(cmt)
nên CD=AC+BD(đpcm)
Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
hay \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{BOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
hay \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)
Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)(cmt)
và \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)(cmt)
nên \(2\cdot\widehat{COM}+2\cdot\widehat{DOM}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{COM}+\widehat{DOM}=90^0\)
hay \(\widehat{COD}=90^0\)
Vậy: \(\widehat{COD}=90^0\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao ứng với cạnh huyền CD, ta được:
\(CM\cdot MD=OM^2\)
\(\Leftrightarrow CA\cdot BD=OM^2\)
mà OM=R
nên \(AC\cdot BD=R^2\)(đpcm)
c) Ta có: CA=CM(cmt)
nên C nằm trên đường trung trực của AM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OA=OM(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của AM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: DM=DB(cmt)
nên D nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: OM=OB(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM
hay OC⊥AM
mà OC cắt AM tại E(gt)
nên OC⊥AM tại E
hay \(\widehat{OEM}=90^0\)
Từ (3) và (4) suy ra OD là đường trung trực của MB
hay OD⊥MB
mà OD cắt MB tại F(gt)
nên OD⊥MB tại F
hay \(\widehat{OFM}=90^0\)
Xét tứ giác EMFO có
\(\widehat{OFM}=90^0\)(cmt)
\(\widehat{OEM}=90^0\)(cmt)
\(\widehat{EOF}=90^0\)(cmt)
Do đó: EMFO là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒EF=MO(Hai đường chéo của hình chữ nhật EMFO)
mà MO=R(gt)
nên EF=R(đpcm)