A B C M D

a/ Xét tứ giác ABCD có: 

M là trung điểm BC

M là trung điểm AD

=> tứ giác ABCD là hình bình hành (Dù nhìn hình không giống vì nó có thể là hcn nhưng dựa vào lý thuyết hoàn toàn chuẩn!)

=> BD//AC

Mà: AB vuông góc AC (gt) 

=> AB vuông góc BD

=> tam giác ABD vuông tại B

b/ Xét tam giác ABD và tam giác ABC có:

góc ABD = góc BAC = 90 độ (cmt)

góc ADB = góc ACB (BD//AC, đồng vị)

AB: chung

=> tam giác ABD = tam giác BAC (g.c.g)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến => AM = BM = CM = 1/2 BC (đpcm)

=> AM < BC (thêm cái này đi cho chắc ăn!)

a) Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔMAB=ΔMDC(c-g-c)

b) Ta có: ΔMAB=ΔMDC(cmt)

nên \(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{MAB}\) và \(\widehat{MDC}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CD(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

mà AB⊥AC(gt)

nên DC⊥AC

c) Xét ΔABC vuông tại A và ΔCDA vuông tại C có 

CA chung

BA=DC(ΔMAB=ΔMDC)

Do đó: ΔABC=ΔCDA(Hai cạnh góc vuông)

Suy ra: BC=DA(Hai cạnh tương ứng)

mà \(MA=\dfrac{1}{2}DA\)(M là trung điểm của DA)

nên \(MA=\dfrac{1}{2}BC\)

a)

Xét tam giác MAB và tam giác MDC có :

MA = MD( theo giả thiết)

BM = MC ( vì AM là trung tuyến của tam giác ABC)

góc AMB = góc CMD(vì đối đỉnh)

Do đó tam giác MAB = tam giác MCD( c.c.c)

b)

Theo câu a), suy ra góc BAM = góc MDC

Suy ra : AB // CD

mà AB ⊥ AC nên CD ⊥ AC

c)

Vì AM là tia trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên AM = \(\dfrac{1}{2}\)BC

Suy ra : AM = BM = MC

Suy ra:  tam giác AMC cân tại M

Do đó góc MAC = góc MCA

Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác CDA vuông tại C, ta có: 

Cạnh AC chung

Góc MAC = Góc MCA

Do đó tam giác ABC = tam giác CDA( cạnh huyện- gọc nhọn kề)

Bài giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên:

\(\widehat{BAC}=90^\circ\).

Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC.

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

\(AM=BM=CM=\dfrac{BC}{2}\).

Do BN vuông góc AM nên tam giác ABM vuông tại M.

Ta có:

\(AB^2=AM^2+BM^2\)

\(x^2=2AM^2\)

Suy ra \(AM=\dfrac{x\sqrt2}{2}\).

Do đó:

\(BC=2AM=x\sqrt2\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC:

\(AC^2=BC^2-AB^2\)

\(AC^2=2x^2-x^2=x^2\).

Suy ra \(AC=x\).

Vậy \(AC=x,\ BC=x\sqrt2\).

Bài giải

Vì tam giác ABC vuông tại A, BD là đường phân giác và AM vuông góc BD.

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

\(AM=BM=CM=\dfrac{BC}{2}\).

Xét tam giác ABM và DBM:

- \(AM=BM\)

- \(\widehat{AMB}=90^\circ\)

- \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\).

Vì AM vuông góc BD nên đường BD vừa là phân giác vừa vuông góc với AM. Suy ra tam giác ABC cân tại B.

Do đó \(AB=BC\).

Mà tam giác ABC vuông tại A nên:

\(AB^2+AC^2=BC^2\).

Thay \(AB=BC\) vào, ta được:

\(AC^2=0\), vô lý với tam giác ABC không suy biến.

Lam truoc cau a nhe,toi roi

a.Vi tu giac AFME co 3 goc vuong va 2 duong cheo vuong goc voi nhau nen AFDE la hinh vuong.

Goi giao diem giua 2 duong cheo AM va EF do la Q 

Suy ra:AQ=FQ nen tam giac AQF la tam giac vuong can hay \(\widehat{AQF}=45^0\left(1\right)\)

Tu giac QFKM co 3 goc vuong va MQ=FQ nen QFKM la hinh vuong.

Suy ra:FK=MK

Ta co:\(FK^2=MK.KC\Rightarrow FK=KC\)

Nen tam giac FKC la tam giac vuong can hay \(\widehat{C}=45^0\left(2\right)\)

Tu (1) va (2) suy ra:AM=MC

Hay AM la duong trung tuyen cua tam giac ABC.

a) Sửa đề: Chứng minh ∆ABC ∽ ∆EAC

Giải:

∆ABC vuông tại A

⇒ BC² = AB² + AC² (Pytago)

= 6² + 8²

= 100

⇒ BC = 10 (cm)

Do AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒ AM = BM = CM = BC : 2

= 10 : 2 = 5 (cm)

∆AMC có AM = CM = 5 (cm)

⇒ ∆AMC cân tại M

⇒ ∠MAC = ∠MCA (hai góc ở đáy)

Do MA ⊥ DE (gt)

CE ⊥ DE (gt)

⇒ MA // DE

⇒ ∠MAC = ∠ACE (so le trong)

Mà ∠MAC = ∠MCA (cmt)

⇒ ∠MAC = ∠ACE

⇒ ∠ACE = ∠BCA (do ∠MAC = ∠BAC)

Xét hai tam giác vuông:

∆ABC và ∆EAC có:

∠BCA = ∠ACE (cmt)

⇒ ∆ABC ∽ ∆EAC (g-g)

b) Do ∆ABC ∽ ∆EAC (cmt)

⇒ AC/CE = BC/AC

⇒ CE = AC²/BC

= 8²/10

= 6,4 (cm)