Lời giải:

$A=\frac{(x+z)(z-y)(y-z)}{yz^2}=\frac{-(x+z)(y-z)^2}{yz^2}$

Vì $-x+y-z=0$ nên $-(x+z)=-y$

$y-z=x$

$\Rightarrow A=\frac{-yx^2}{yz^2}=\frac{-x^2}{z^2}$

Đến đây là kịch rồi bạn ạ, không tính được giá trị cụ thể của biểu thức A. Bạn xem lại đề.

Ta có : 

\(A=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)

\(=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{z+x}{x}\)

Do x + y + z = 0 => x+y = -z ; y+z = -x ; z+x = -y

\(\Rightarrow A=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=\frac{\left(-1\right).xyz}{xyz}=-1\)

\(a^2-2a+6b+b^2=-10\\ \Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2+6b+9=0\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+3\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(1;-3\right)\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\\ \Leftrightarrow xy+yz+zx=0\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+yz=-zx\\xy+zx=-yz\\yz+zx=-xy\end{matrix}\right.\)

Ta có: 

\(A=\dfrac{xz+yz}{z^2}+\dfrac{xy+yz}{y^2}+\dfrac{xy+xz}{x^2}\\ =\dfrac{-xy}{z^2}+\dfrac{-xz}{y^2}+\dfrac{-yz}{x^2}\\ =-xyz\cdot\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\\ =-xyz\cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{2}{xy}-\dfrac{2}{yz}-\dfrac{2}{xz}\right)\\ =0\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2xyz}{xyz}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{y};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{x}\)

\(A=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\)

\(=\left(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)=y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(=y\cdot-\frac{1}{y}+x\cdot-\frac{1}{x}+z\cdot-\frac{1}{z}=-1-1-1=-3\)

vậy A=-3

a. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$:

Từ giả thiết: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

Quy đồng mẫu thức:

$\Rightarrow \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0$

$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$

Khai triển tử thức của $A$:

$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$

Thay $xy + yz + zx = 0$ vào biểu thức trên:

$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z) \cdot 0 - xyz = -xyz$

Do đó: $A = \frac{-xyz}{xyz} = -1$

Vậy $A = -1$.

b. Chứng minh $A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}$ là bình phương của một số hữu tỉ:

Đặt $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$.

Ta có: $x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$.

Xét đẳng thức:

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}\right)$

Biến đổi phần trong ngoặc kép:

$\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = \frac{z + x + y}{xyz}$

Vì $x + y + z = 0$ nên $\frac{z + x + y}{xyz} = 0$.

Suy ra:

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}$

Thay lại $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$:

$A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}\right)^2$

Vì $a, b, c$ là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một nên $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}$ là một số hữu tỉ.

Vậy $A$ là bình phương của một số hữu tỉ (điều phải chứng minh).